如图所示.半径R=1.0m的光滑圆弧轨道固定在竖直平面内.轨道的一个端点B和圆心O的连线与水平方向间的夹角θ=37°.另一端点C为轨道的最低点．C点右侧的水平路面上紧挨C点放置一木板.木板质量M=1kg.上表面与C点等高．质量m=1kg的物块从空中A点以v0=1.2m/s的速度水平抛出.恰好从轨道的B端沿切线方向进入轨道．已知物块与木板间的动摩擦因数μ1=0.2.木� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

3．

如图所示，半径R=1.0m的光滑圆弧轨道固定在竖直平面内，轨道的一个端点B和圆心O的连线与水平方向间的夹角θ=37°，另一端点C为轨道的最低点．C点右侧的水平路面上紧挨C点放置一木板，木板质量M=1kg，上表面与C点等高．质量m=1kg的物块（可视为质点）从空中A点以v₀=1.2m/s的速度水平抛出，恰好从轨道的B端沿切线方向进入轨道．已知物块与木板间的动摩擦因数μ₁=0.2，木板与路面间的动摩擦因数μ₂=0.05，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，取g=10m/s²，设木板受到的最大静摩擦力跟滑动摩擦力相等．试求：
（1）物块经过轨道上的B点时的速度大小；
（2）物块经过轨道上的C点时对轨道的压力；
（3）木板至少多长才能使物块不从木板上滑下？
（4）若木板足够长，请问从开始平抛至最终木板、物块都静止，整个运动过程中，物块与木板间产生的内能为多少？木板与地面间产生的内能为多少？共产生的内能为多少？

分析（1）物块从A到B做平抛运动，由速度分解即可求得经过B点时的速度大小；
（2）物块从A到B做平抛运动，由平抛规律可求得B点的速度；由机械能守恒可求得C点的速度；由向心力公式可求得物块在C点受到的支持力，由牛顿第三定律可求得对轨道的压力；
（3）由牛顿第二定律可求得物块和木板的加速度，要使物块不掉下去，两物体最后应达到相同速度并且刚好到达最右端，由运动学公式可求得木板的长度．
（4）运用运动学公式求出物块和木板对地的位移，根据相对位移求物块与木板间产生的内能．根据木板对地的位移求木板与地面间产生的内能．

解答解：（1）物块从A到B做平抛运动，根据物块经过B点的速度和竖直方向的夹角为θ，根据运动的分解知：
v_B=$\frac{{v}_{0}}{sinθ}$=$\frac{1.2}{0.6}$=2m/s
（2）从B到C应用动能定理有：
mg（R+Rsinθ）=$\frac{1}{2}$m${v}_{C}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
代入数据得：v_C=6m/s
在C点，由牛顿第二定律有：F_N-mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
代入数据得：F_N=46N
由牛顿第三定律知，物块经过圆轨道上的C点时对轨道的压力为46N；
（3）物快在木板上滑动时，设物块和木板的加速度大小分别为a₁、a₂，
则由牛顿第二定律，
对物块有：μ₁mg=ma₁
对木板有：μ₁mg-μ₂（M+m）g=Ma₂
联立并代入数据解得：a₁=2m/s²，a₂=1m/s²；
设物快和木板经过时间t达到共同速度v，其位移分别为．S₁、S₂，则：
对物块：v=v_C-a₁t
对木板：v=a₂t
联立并代入数据解得：t=2s，v=2m/s
设木板长度至少为L
时间t内物块的位移：S₁=$\frac{{v}_{C}+v}{2}$t=8m
时间t内木板的位移：S₂=$\frac{v}{2}$t=2m
由题意得：L≥S₁-S₂=6m
即木板长度至少6m才能使物块不从木板上滑下．
（4）设物块与木板速度相同一起滑行的距离为S₃．则它们共同的加速度大小为：
a₃=$\frac{{μ}_{2}（M+m）g}{M+m}$=0.5m/s²；
S₃=$\frac{{v}^{2}}{2{a}_{3}}$=$\frac{{2}^{2}}{2×0.5}$=4m
所以，整个运动过程中，物块与木板间产生的内能为：Q₁=μ₁mgL=12J
木板与地面间产生的内能为：Q₂=μ₂（M+m）g（S₂+S₃）=6J
共产生的内能为：Q=Q₁+Q₂=18J
答：（1）物块经过轨道上的B点时的速度大小是2m/s；
（2）物块经过轨道上的C点时对轨道的压力是46N；
（3）木板至少6m长才能使物块不从木板上滑下；
（4）整个运动过程中，物块与木板间产生的内能为12J，木板与地面间产生的内能为6J，共产生的内能为18J．

点评本题考查了牛顿第二定律和运动学公式的综合，关键能够正确地受力分析，结合牛顿第二定律和运动学公式进行求解，知道加速度是联系力学和运动学的桥梁．第三问中整个过程产生的内能也可以根据能量守恒定律求：Q=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$=18J．

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