Question

7．天文学家经过长期观察，在河外星系发现了LMCX-3双星系统，它由可见星A和不可见的暗星B构成．A、B围绕两者连线上的O点作匀速圆周运动，它们之间的距离r保持不变，如图所示．已知A、B两星的质量分别为m、M，且可视为质点，不考虑其它天体的影响，万有引力常量为G，则下列说法中正确的是（　　）

• A． 两星运动的角速度之比ω_A：ω_B=m：M
• B． 两星运动的线速度之比v_A：v_B=（m+M）：M
• C． 两星运动的向心加速度之比a_A：a_B=M：m
• D． A星运动周期T=2$π\sqrt{\frac{{r}^{2}}{G（m+M）}}$

Answer 1

分析 抓住A、B做圆周运动的向心力相等，角速度相等，求出A、B轨道半径的关系，从而得知A、B距离为A卫星的轨道半径关系，由v=ωr求出线速度的关系．
根据牛顿第二定律得出加速度的大小关系；
根据万有引力提供向心力求出A的周期．

解答 解：A、A、B围绕两者连线上的O点作匀速圆周运动，它们的角速度是相等的．故A错误；
B、设A、B圆轨道的半径分别为r₁、r₂，由题意知，A、B的角速度相等，为ω，
有：${F}_{A}=m{r}_{1}{ω}^{2}$，${F}_{B}=M{r}_{2}{ω}^{2}$，又F_A=F_B．
所以：$\frac{{r}_{1}}{{r}_{2}}=\frac{M}{m}$
又：v=ωr
所以：$\frac{{v}_{A}}{{v}_{B}}=\frac{{r}_{1}}{{r}_{2}}=\frac{M}{m}$．故B错误；
C、二者之间的万有引力大小相等，方向相反，根据牛顿第二定律：F=ma可得：
$\frac{{a}_{A}}{{a}_{B}}=\frac{M}{m}$．故C正确；
D、A、B之间的距离为r，由万有引力定律得，${F}_{A}=\frac{GmM}{{r}^{2}}$=$\frac{m•4{π}^{2}r}{{T}^{2}}$．
联立得：T=$2π\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$．故D错误．
故选：C

点评 本题是双子星问题，关键抓住双子星所受的万有引力相等，转动的角速度相等，根据万有引力定律和牛顿第二定律综合求解．