Question

12．如图所示，光滑水平面AB与竖直面上的半圆形固定轨道在B点衔接，轨道半径为R，BC为直径．一可看作质点、质量为m的物块在A处压缩一轻质弹簧（物块与弹簧不连接），释放物块，物块被弹簧弹出后，经过半圆形轨道B点时对轨道的压力为其重力的7倍，之后向上运动并恰能通过半圆轨道的最高点C．不计空气阻力，重力加速度g=10m/s²．则（　　）

• A． 物块经过B点时的速度的大小为$\sqrt{5gR}$
• B． 物块弹出前弹簧的弹性势能为3mgR
• C． 物块在半圆轨道上克服阻力做功为$\frac{1}{3}$mgR
• D． 若开始时弹簧的弹性势能为6mgR，则物块到达C点的动能小于$\frac{7}{2}$mgR

Answer 1

分析 研究物体经过B点的状态，根据牛顿第二定律求出物体经过B点的速度；
得到物体的动能，物体从A点至B点的过程中由功能关系求得弹簧的弹性势能等于体经过B点的动能；
物体恰好到达C点时，由重力充当向心力，由牛顿第二定律求出C点的速度，物体从B到C的过程，运用动能定理求解克服阻力做的功；
从弹出到最高点，假设摩擦力做功不变，由功能关系求得C点的动能再判断．

解答 解：A、根据物块进入导轨瞬间对导轨的压力为其重力的7倍，此时重力和支持力提供向心力，得：7mg-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$，解得v_B=$\sqrt{6gR}$，故A错误；
B、从A到B，水平面光滑，由功能关系，弹簧的弹性势能转化为物体的动能，所以有：E_P=$\frac{1}{2}$mv²=3mgR，故B正确；
C、物块向上运动恰能通过半圆的最高点C，重力恰好提供向心力，即：mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$，解得：v_C=$\sqrt{gR}$，从B到C，由动能定理得-mg•2R+W_f=$\frac{1}{2}$mv_C²-$\frac{1}{2}$mv_B²，解得：W_f=-$\frac{1}{2}$mgR，即物体在半圆轨道上克服阻力做功为$\frac{1}{2}$mgR，故C错误；
D、开始时弹簧的弹性势能为6mgR，假设物体在半圆轨道上克服阻力做功为$\frac{1}{2}$mgR，由功能关系可得：6mgR-$\frac{1}{2}$mgR=2mgR+E_KC，解得E_KC=$\frac{7}{2}$mgR，又因为速度变大，正压力变大，摩擦力变大，物体在半圆轨道上克服阻力做功大于$\frac{1}{2}$mgR，物块到达C点的动能小于$\frac{7}{2}$mgR，故D正确．
故选：BD．

点评 本题的解题关键是根据牛顿第二定律求出物体经过B、C两点的速度，再结合动能定理、功能关系的知识求解．特别注意D选项，物体在轨道上运动的速度大小改变了，则正压力改变，摩擦力做功要变化，这里很容易出错．