Question

14．如图，某截面为直角三角形的玻璃棱镜ABC，BC边长为L，∠B=90°，∠C=30°，一条光线垂直于AB边E点射入棱镜且AE=$\frac{L}{5}$．光线最终从BC边的中点D射出，出射光线和BC边的夹角θ=45°，光在真空中传播速度为c．
（1）求玻璃的折射率；
（2）作出光路图并判断AC面是否有光线射出；
（3）求光在梭镜内传播的时间．

Answer 1

分析 （1）根据几何关系求出光线在BC面上的入射角和折射角，结合折射定律求出折射率的大小．
（2）根据光线在AC面上的入射角大小与临界角的大小比较，判断能否发生全反射．
（3）根据几何关系求出光线在棱镜中传播的路程，结合v=$\frac{c}{n}$求出光线在棱镜中传播的速度，从而得出光在棱镜中传播的时间．

解答 解：（1）光线在AC面上发生反射，根据几何关系知，光线在BC面上的入射角r=30°，
因为出射光线和BC边的夹角θ=45°，则折射角i=45°，
根据折射定律得，折射率n=$\frac{sini}{sinr}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}$．
（2）设发生全反射的临界角为C，有sinC=$\frac{1}{n}$，解得C=45°，
因为光线在AC面上的入射角为60°，大于全反射的临界角，则在AC面上没有光线射出，如图所示．
（3）根据几何关系知，光线在棱镜中传播的路程s=$\frac{\frac{L}{5}}{tan30°}+\frac{\frac{L}{\sqrt{3}}-\frac{L}{5}}{cos30°}$=$（\frac{\sqrt{3}}{15}+\frac{2}{3}）L$，
光在棱镜中传播的速度v=$\frac{c}{n}=\frac{\sqrt{2}}{2}c$，
则光在棱镜中传播的时间t=$\frac{s}{v}$=$（\frac{\sqrt{6}}{15}+\frac{2\sqrt{2}}{3}）\frac{L}{c}$．
答：（1）玻璃的折射率为$\sqrt{2}$；
（2）光路图如图所示，光线在AC面上不能射出；
（3）光在梭镜内传播的时间为$（\frac{\sqrt{6}}{15}+\frac{2\sqrt{2}}{3}）\frac{L}{c}$．

点评 解决本题的关键是判断出光线在AC面发生全反射，再根据反射定律和折射定律求解出各个分界面上的反射角和折射角，然后画出光路图，并结合几何关系进行分析计算．