题目内容
7．如图所示，两个半径均为R的四分之一圆弧构成的光滑细管道ABC竖直放置，且固定在光滑水平面上，圆心连线O1O2水平．轻弹簧左端固定在竖直挡板上，右端与质量为m的小球接触（不拴接，小球的直径略小于管的内径），长为R的薄板DE置于水平面上，板的左端D到管道右端C的水平距离为R．开始时弹簧处于锁定状态，具有一定的弹性势能，解除锁定，小球离开弹簧后进入管道，最后从C点抛出．已知重力加速度为g．
（1）若小球经C点时所受的弹力大小为$\frac{3}{2}$mg，求弹簧弹性势能的大小EP．
（2）若换用质量为m1的小球用锁定弹簧发射（弹簧势能不变），问小球质量m1满足什么条件，从C点抛出的小球才能击中薄板DE．
分析 （1）先由牛顿第二定律求出小球经过C点时的速度，再根据能量守恒定律求解弹簧锁定时具有的弹性势能Ep；
（2）小球离开C后做平抛运动，由平抛运动基本公式结合能量守恒定律求出小球质量m1满足的条件．
解答 解：（1）在C点，以小球为研究对象，则有
mg+$\frac{3}{2}mg$=m$\frac{{{v}_{C}}^{2}}{R}$
对整个过程，根据能量守恒定律得
Ep=2mgR+$\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}$
联立解得 Ep=$\frac{13}{4}$mgR
（2）小球离开C点后做平抛运动，
竖直方向：$2R=\frac{1}{2}g{t}^{2}$，
水平方向：x1=v1t，
若要小球击中薄板，应满足：R≤x1≤2R，
解得：$\frac{1}{2}\sqrt{gR}≤{v}_{1}≤\sqrt{gR}$
从A到C的过程中，根据能量守恒定律得：
${E}_{P}=2{m}_{1}gR+\frac{1}{2}{m}_{1}{{v}_{1}}^{2}$
解得：$\frac{13}{10}m≤{m}_{1}≤\frac{26}{17}m$
答：（1）若小球经C点时所受的弹力大小为$\frac{3}{2}$mg，弹簧弹性势能的大小EP为$\frac{13}{4}$mgR；
（2）小球质量m1满足$\frac{13}{10}m≤{m}_{1}≤\frac{26}{17}m$条件，从C点抛出的小球才能击中薄板DE．
点评 本题考查了求小球的动能、重力势能、弹簧的弹性势能，分析清楚小球的运动过程，应用能量守恒定律、牛顿第二定律、平抛运动规律即可正确解题，难度适中．
练习册系列答案
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5．
如图所示，有一质量为M的光滑大圆环，半径为R，被一轻杆固定后悬挂在O点，有两个质量为m的小环（可视为质点）套在大环上，同时从大环两侧的对称位置由静止滑下，同时到达大环底部时速度为v，则（ ）
如图所示，有一质量为M的光滑大圆环，半径为R，被一轻杆固定后悬挂在O点，有两个质量为m的小环（可视为质点）套在大环上，同时从大环两侧的对称位置由静止滑下，同时到达大环底部时速度为v，则（ ）| A． | 当两小环滑到同大环圆心等高时，大环对轻杆的拉力大小为Mg | |
| B． | 当两小环滑到同大环圆心等高时，大环对轻杆的拉力大小为（2m+M）g | |
| C． | 两小环滑到大环底部时，大环对轻杆的拉力大小为2m（g+$\frac{{v}^{2}}{R}$）+Mg | |
| D． | 两小环滑到大环底部时，大环对轻杆的拉力大小为（2m+M）g |