Question

19．如图所示，半径R=1m的光滑半圆轨道AC与高h=8R的粗糙斜面轨道BD放在同一竖直平面内，BD部分水平长度为x=6R．两轨道之间由一条光滑水平轨道相连，水平轨道与斜轨道间有一段圆弧过渡．在水平轨道上，轻质弹簧被a、b两小球挤压（不连接），处于静止状态．同时释放两个小球，a球恰好能通过半圆轨道最高点A，b球恰好能到达斜面轨道最高点B．已知a球质量为m₁=2kg，b球质量为m₂=1kg，小球与斜面间动摩擦因素为μ=$\frac{1}{3}$，重力力加速度为g=10m/s²．（sin37°=0.6，cos37°=0.8）求：

（1）a球经过C点时对轨道的作用力
（2）释放小球前弹簧的弹性势能Ep．

Answer 1

分析 （1）小球a恰好能通过最高点，由重力充当向心力，由向心力公式可得出小球a在A点的速度，由机械能守恒可得出a球经过C点的速度．在C点，根据合力提供向心力，求轨道对a球的支持力，从而得到a球对轨道的压力．
（2）对b球，根据动能定理求出b球离开弹簧时的速度大小v_b；释放弹簧的过程，对系统，由机械能守恒可得出弹簧的弹性势能．

解答 解：（1）由a球恰好能到达A点，重力提供向心力，有：
m₁g=m₁$\frac{{v}_{A}^{2}}{R}$
a球从C到A的过程，由机械能守恒定律得：
  $\frac{1}{2}$m₁v_C²-$\frac{1}{2}$m₁v_A²=m₁g•2R
得，小球a经过C点的速度：v_C=$\sqrt{5gR}$=5$\sqrt{2}$m/s
在C点，以a球为研究对象，由牛顿第二定律得：
N-m₁g=m₁$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
联立解得：N=6m₁g=120N
由牛顿第三定律知，a球经过C点时对轨道的作用力大小为120N，方向竖直向下．
（2）由数学知识可知斜面的倾角为53°，长度为10R．
对于b球沿斜面上滑的过程，由动能定理得：
  0-$\frac{1}{2}$m₂v_b²=-m₂g•8R-μm₂gcos53°•10R
代入数据得：v_b=10$\sqrt{2}$m/s
弹簧释放的过程，对于系统，由机械能守恒定律得：
  E_p=$\frac{1}{2}$m₁v_C²+$\frac{1}{2}$m₂v_b²
代入数据得：E_p=150J
答：（1）a球经过C点时对轨道的作用力大小为120N，方向竖直向下．
（2）释放小球前弹簧的弹性势能E_p是150J．

点评 解决本题的关键：一要明确小球到达圆轨道最高点的临界条件：重力充当向心力．二要明确有摩擦时往往运用动能定理求解速度．