Question

11．由均匀导线制成的单匝正方形闭合线框abcd，边长为L，电阻为R，质量为m，将其置于磁感应强度为B的水平匀强磁场上方h处，如图所示．线框由静止自由下落，线框平面保持在竖直平面内，且cd边始终与水平的磁场边界面平行，
（1）当cd边刚进入磁场时，线框中产生的感应电动势的大小及c、d两点间的电压．
（2）若cd边刚进入磁场时，线框的加速度恰好为$\frac{g}{2}$，求线框下落的高度h应满足的条件．

Answer 1

分析 （1）由自由落体运动公式求出线框进入磁场时的速度，然后由E=BLv求出感应电动势．由欧姆定律求出电流，然后由U=IR求出电压．
（2）根据F=BIL求出安培力F，根据牛顿第二定律列式知线框下落的高度h应满足的条件；

解答 解：（1）线框进入磁场前做自由落体运动，由匀变速直线运动的速度位移公式得：v²=2gh，
解得，cd边刚进入磁场时，线框速度：v=$\sqrt{2gh}$，
线框中产生的感应电动势：E=BLv=BL$\sqrt{2gh}$；
此时线框中电流：I=$\frac{E}{R}$，
cd两点间的电势差：U=I•$\frac{3}{4}R$，
解得：U=$\frac{3}{4}$BL$\sqrt{2gh}$；
（2）而安培力F=BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}\sqrt{2gh}}{R}$①
若cd边刚进入磁场时，线框的加速度恰好为$\frac{g}{2}$，根据牛顿第二定律知mg-F=ma=$\frac{1}{2}$mg②
解①②得h=$\frac{{m}^{2}{R}^{2}g}{g{B}^{4}{L}^{4}}$
也可能加速度方向向上，则有F-mg=ma=$\frac{1}{2}$mg
解得：$\frac{9{m}^{2}{R}^{2}g}{8g{B}^{4}{L}^{4}}$
答：（1）当cd边刚进入磁场时，线框中产生的感应电动势的大小为BL$\sqrt{2gh}$；c、d两点间的电压为$\frac{3}{4}$BL$\sqrt{2gh}$．
（2）若cd边刚进入磁场时，线框的加速度恰好为$\frac{g}{2}$，线框下落的高度h应满足的条件h=$\frac{{m}^{2}{R}^{2}g}{g{B}^{4}{L}^{4}}$或$\frac{9{m}^{2}{R}^{2}g}{8g{B}^{4}{L}^{4}}$
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点评 本题考查了求感应电动势、求电压、求加速度，分析清楚线框的运动过程、应用E=BLv、欧姆定律即可正确解题．