Question

3．宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用．如图，设四星系统中每个星体的质量均为m，半径均为R，四颗星稳定分布在边长为L的正方形的四个顶点上．已知引力常量为G，关于四星系统（忽略星体自转的影响），下列说法正确的是（　　）

• A． 四颗星的向心加速度的大小为$\frac{2\sqrt{2}Gm}{{L}^{2}}$
• B． 四颗星运行的线速度大小是$\sqrt{\frac{Gm（1+2\sqrt{2}）}{2\sqrt{2}L}}$
• C． 四颗星表面的重力加速度均为G$\frac{m}{{R}^{2}}$
• D． 四颗星的周期均为2πL$\sqrt{\frac{2L}{Gm（1+2\sqrt{2}）}}$

Answer 1

分析 在四颗星组成的四星系统中，其中任意一颗星受到其它三颗星对它的引力的合力提供圆周运动的向心力，根据合力提供向心力，求出星体匀速圆周运动的加速度、线速度和周期．在星球表面上，根据万有引力等于重力，求出星体表面的重力加速度．

解答 解：任一星体在其他三个星体的万有引力作用下围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，轨道半径均r=$\frac{\sqrt{2}}{2}L$，
根据$\frac{G{m}^{2}}{（\sqrt{2}L）^{2}}+\frac{\sqrt{2}G{m}^{2}}{{L}^{2}}=ma$=m$\frac{{v}^{2}}{r}$=m$r\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$得，a=$\frac{（2\sqrt{2}+1）Gm}{2{L}^{2}}$，v=$\sqrt{\frac{Gm}{L}（1+\frac{\sqrt{2}}{4}）}$=$\sqrt{\frac{Gm（1+2\sqrt{2}）}{2\sqrt{2}L}}$，T=2πL$\sqrt{\frac{2L}{（4+\sqrt{2}）Gm}}$，故A、D错误，B正确．
根据$G\frac{{m}^{2}}{{R}^{2}}=mg$得，星球表面的重力加速度g=$\frac{Gm}{{R}^{2}}$，故C正确．
故选：BC．

点评 解决本题的关键掌握万有引力等于重力，以及知道在四颗星组成的四星系统中，其中任意一颗星受到其它三颗星对它的合力提供圆周运动的向心力．