Question

17．“科学真是迷人，根据零星的事实，增添一点猜想，竟能赢得那么多收获！”这是著名文学家马克•吐温对万有引力理论成就的高度称赞．地球的质量不可能用天平称量，但可以通过万有引力定律来“称量”．
甲同学说：如果知道地球半径R、引力常量G、地球表面的重力加速度g，就能“称量”出地球质量．
乙同学说：如果知道人造卫星绕地球的运行周期T、轨道半径r、引力常量G，也能“称量”出地球质量．
请你任选一位同学的说法，推导出“称量”地球质量M的表达式．并说明你进行这种推导的简化条件．

Answer 1

分析 根据万有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m（\frac{2π}{T}）^{2}r$，只要知道人造卫星绕地球的运行周期T、轨道半径r、引力常量G，即可求出中心天体地球的质量．

解答 证明：根据万有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m（\frac{2π}{T}）^{2}r$，解得$M=\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$，所以当G测定后，只要知道人造卫星绕地球的运行周期T、轨道半径r、引力常量G，即可求出中心天体地球的质量．
证明见上．

点评 本题要注意：当一个环绕天体绕中心天体运动时，只能求中心天体的质量．如果知道地球绕太阳运动的周期和半径，只能计算中心天体太阳的质量．