题目内容

17．已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，万有引力常量为G，不考虑地球自转的影响．
（1）求近地卫星环绕地球运行的周期T；
（2）若地球的自转周期为T1，求地球同步卫星绕地球做匀速圆周运动的运行速度v1；
（3）若地球同步卫星离地面的高度约为地球半径的6倍，某行星的平均密度为地球平均密度的一半，它的同步卫星距其表面的高度是其半径的2.5倍，求该行星的自转周期．

分析 （1）近地卫星轨道半径等于地球的半径，根据万有引力提供向心力及重力等于等于万有引力即可求出近地卫星环绕地球运动的周期T；
（2）先求出同步卫星的轨道半径，再根据$v=\frac{2πr}{T}$求出同步卫星的运行速度；
（3）根据万有引力提供向心力，分别列出地球同步卫星和行星的同步卫星的方程，即可求出行星的同步卫星的周期

解答 解：（1）根据地球表面物体重力等于万有引力，有$mg=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$，得$GM=g{R}_{\;}^{2}$①
近地卫星环绕地球做匀速圆周运动的周期$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}R$
解得：$T=2π\sqrt{\frac{{R}_{\;}^{3}}{GM}}$②
联立①②得$T=2π\sqrt{\frac{{R}_{\;}^{3}}{g{R}_{\;}^{2}}}=2π\sqrt{\frac{R}{g}}$
（2）设同步卫星的轨道半径为${r}_{1}^{\;}$，根据万有引力提供向心力，有$G\frac{Mm}{{r}_{1}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{1}^{2}}{r}_{1}^{\;}$
解得：${r}_{1}^{\;}=\root{3}{\frac{GM{T}_{1}^{2}}{4{π}_{\;}^{2}}}=\root{3}{\frac{g{R}_{\;}^{2}{T}_{1}^{2}}{4{π}_{\;}^{2}}}$
同步卫星环绕地球的运行速度${v}_{1}^{\;}=\frac{2π{r}_{1}^{\;}}{{T}_{1}^{\;}}=\root{3}{\frac{2πg{R}_{\;}^{2}}{{T}_{1}^{\;}}}$
（3）地球的同步卫星的周期为T1=24小时，轨道半径为r1=7R1，密度ρ1．某行星的同步卫星周期为T2，轨道半径为r2=3.5R2，密度ρ2．根据牛顿第二定律和万有引力定律分别有
地球同步卫星：$\frac{G{m}_{1}^{\;}×{ρ}_{1}^{\;}×\frac{4}{3}π{R}_{1}^{3}}{{r}_{1}^{2}}={m}_{1}^{\;}（\frac{2π}{{T}_{1}^{\;}}）_{\;}^{2}{r}_{1}^{\;}$
行星的同步卫星：$\frac{G{m}_{2}^{\;}×{ρ}_{2}^{\;}×\frac{4}{3}π{R}_{2}^{3}}{{r}_{2}^{3}}={m}_{2}^{\;}（\frac{2π}{{T}_{2}^{\;}}）_{\;}^{2}{r}_{2}^{\;}$
两式化简得T2=$\frac{{T}_{1}^{\;}}{2}$=12小时．
答：（1）求近地卫星环绕地球运行的周期T为$2π\sqrt{\frac{R}{g}}$；
（2）若地球的自转周期为T1，求地球同步卫星绕地球做匀速圆周运动的运行速度${v}_{1}^{\;}$为$\root{3}{\frac{2πg{R}_{\;}^{2}}{{T}_{1}^{\;}}}$；
（3）若地球同步卫星离地面的高度约为地球半径的6倍，某行星的平均密度为地球平均密度的一半，它的同步卫星距其表面的高度是其半径的2.5倍，该行星的自转周期为12h．

点评 运用黄金代换式$GM=g{R}_{\;}^{2}$求出问题是考试中常见的方法．向心力的公式选取要根据题目提供的已知物理量或所求解的物理量选取应用．

练习册系列答案
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7．如图所示，固定的倾斜粗糙细杆与水平地面间的夹角为θ=37°，质量为1.0kg的圆环套在细杆．细质弹簧的一端固定在水平地面上的O点，另一端与圆环相连接，当圆环在A点时弹簧恰好处于原长状态且与轻杆垂直．将圆环从A点由静止释放，滑到细杆的底端C点时速度为零．若圆环在C点获得沿细杆向上且大小等于2.0m/s的初速度，则圆环刚好能再次回到出发点A．已知B为AC的中点，弹簧原长为0.3m，在圆环运动过程中弹簧始终在弹性限度内，重力加速度g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8．则（　　）
A．下滑过程中，圆环受到的合力一直在增大
B．下滑过程中，圆环与细杆摩擦产生的热量为1.0J
C．在圆环从C点回到A点的过程中，弹簧对圆环做的功为1.2J
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8．一个物体从距水平地面H高处自由下落，当其动能是重力势能是2倍时（以地面为零势能面），物体的速度为（　　）
A．$\sqrt{gH}$B．$\frac{2}{3}$$\sqrt{3gH}$C．2$\sqrt{3gH}$D．$\frac{1}{2}$$\sqrt{2gH}$
5．假设姚明在某次投篮出手时篮球的动能为Ek，出手高度为h1，篮筐距地面高度为h2，球的质量为m，不计空气阻力，则篮球进筐时的动能为（　　）
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12．关于热力学定律和分子动理论，下列说法正确的是（　　）
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2．空间中始终可以看成质点的两个物体相距一定的距离，它们之间的万有引力为F，要使它们间的万有引力减小到原来的$\frac{1}{4}$，下列可行的办法是（　　）
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B．使其中一个物体的质量减小到原来的$\frac{1}{2}$，距离不变
C．使两个物体间的距离增为原来的2倍，质量不变
D．两物体的质量和距离都减小到原来的$\frac{1}{4}$
9．关于物体的动能和重力势能，以下说法正确的是（　　）
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B．物体的动能变大重力势能也一定变大
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（1）飞机在跑道上的加速度大小；
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7．水平桌面上有一个木块压着一张纸，挡着木块向右把纸抽出，则木块受到的摩擦力方向为（　　）
A．向左B．向右
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