Question

13．一个静止的直角坐标参考系如图所示，整个空间内无重力场，但存在一个垂直于xOy平面向里的匀强磁场，磁感强度为B．一根光滑绝缘的空心细管沿y轴放置，长度为d，管的一端位于坐标原点O，其内侧置有一带正电小球，视作质点．在t=0时刻给细管一个沿+x轴方向的初速度v₀，经过一段时间小球离开细管时相对参考系的速度大小为$\sqrt{2}$v₀．因小球质量远小于细管质量，故可忽略小球对细管运动的影响．试求：
（1）判断小球在管内运动的过程中：小球所受的磁场力是否做功？
小球能量增加的来源？小球作何种性质的运动？
（2）小球的比荷，以及在管内运动时的轨迹方程；
（3）小球离开管后的轨迹方程，何时离坐标原点O最远？

Answer 1

分析 （1）根据洛伦兹力的特点得到做功情况，然后根据受力得到运动和能量的转化方向；
（2）由小球在竖直方向的受力，根据匀变速运动规律得到比荷，再将水平、竖直方向的分运动联立消去时间t，即可求得轨迹方程；
（3）根据小球离开细管时的速度、位置，由洛伦兹力做向心力求得半径，即可得到小球做圆周运动的圆心，从而得到轨迹方程及最远点，然后根据中心角求得运动时间．

解答 解：（1）小球所受磁场力垂直于小球速度方向，故磁场力不做功；
小球运动过程中只受细管和洛伦兹力作用，故小球能量增加的来源是细管的动能；
在水平方向上：小球随细管做匀速直线运动；在竖直方向上：小球在洛伦兹力作用下做匀加速运动，故小球做类平抛运动；
（2）小球在竖直方向上受到的洛伦兹力为F=Bv₀q，故小球在竖直方向上做加速度$a=\frac{B{v}_{0}q}{m}$的匀加速运动；
小球离开细管时相对参考系的速度为v=$\sqrt{2}{v}_{0}$，故竖直分速度v_y=v₀；
所以由匀变速运动规律可得：${{v}_{y}}^{2}=2ad$，故$\frac{q}{m}=\frac{a}{B{v}_{0}}=\frac{{v}_{0}}{2Bd}$；
小球在竖直方向上做匀加速运动，故有$y=\frac{1}{2}a{t}^{2}=\frac{1}{2}•\frac{B{v}_{0}q}{m}•（\frac{x}{{v}_{0}}）^{2}=\frac{1}{2}•\frac{{{v}_{0}}^{2}}{2d}•\frac{{x}^{2}}{{{v}_{0}}^{2}}=\frac{{x}^{2}}{4d}$；
（3）小球离开细管后在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，故有$Bvq=\frac{m{v}^{2}}{R}$，所以，运动周期$T=\frac{2πR}{v}=\frac{2πm}{qB}$=$\frac{4πd}{{v}_{0}}$；
由小球做类平抛运动及末速度可知小球在细管中的运动时间${t}_{1}=\frac{2d}{{v}_{0}}$，离开细管时的坐标为（2d，d），小球做圆周运动的半径$R=\frac{mv}{qB}=\frac{\sqrt{2}m{v}_{0}}{qB}=2\sqrt{2}d$；
那么，小球做圆周运动的圆心为（0，3d）；所以，小球运动到$（0，3d+2\sqrt{2}d）$时转过的中心角为$2nπ+\frac{3}{4}π，n=0，1，2，3…$，此时离坐标原点最远；
所以，小球离开细管后的轨迹方程为x²+（y-3d）²=8d²；
运动到离坐标原点最远的时间$t={t}_{1}+\frac{2nπ+\frac{3}{4}π}{2π}T=[2+4π（n+\frac{3}{8}）]\frac{d}{{v}_{0}}$=$\frac{4+（8n+3）π}{2}•\frac{d}{{v}_{0}}，n=0，1，2，3…$
答：（1）小球在管内运动的过程中：小球所受的磁场力不做功；
小球能量增加的来源是细管的动能；小球做类平抛运动；
（2）小球的比荷为$\frac{{v}_{0}}{2Bd}$，在管内运动时的轨迹方程为$y=\frac{{x}^{2}}{4d}$；
（3）小球离开管后的轨迹方程为x²+（y-3d）²=8d²；在$t=\frac{4+（8n+3）π}{2}•\frac{d}{{v}_{0}}，n=0，1，2，3…$时离坐标原点O最远．

点评 带电粒子的运动问题，加速电场一般由动能定理或匀加速运动规律求解；偏转电场由类平抛运动规律求解；磁场中的运动问题则根据圆周运动规律结合几何条件求解．