Question

4．如图所示，光滑水平轨道ab、cd在a、d端很接近但不接触，点a、d到bc边的距离均为4L，b、c间有一阻值为R的定值电阻，竖直向下的匀强磁场垂直穿过轨道面，磁感应强度大小为B．一质量为m，长为L的金属杆在水平外力F的作用下，以初速度v₀从bc位置开始向左做直线运动，运动过程中保持杆中电流不变，金属杆和轨道的电阻不计．求：
（1）杆向左运动距离为2L时速度的大小；
（2）杆向左运动距离为2L过程中，水平外力做的功；
（3）杆向左运动距离为2L用的时间．

Answer 1

分析 （1）分别求出在bc位置和在杆向左运动距离为2L时的感应电流，再根据运动过程中保持杆中电流不变，求出杆向左运动距离为2L时速度的大小；
（2）先求出在杆向左运动距离为2L过程中，安培力做的功，再利用动能定理，求出水平外力做的功；
（3）利用安培力所做的功等于电阻R产生的焦耳热，列式求出杆向左运动距离为2L用的时间．

解答 解：（1）当金属杆在bc位置时，有效切割长度为L，速度为v₀，则感应电动势为E₁=BLv₀，感应电流I₁=$\frac{{E}_{1}}{R}$
当杆向左运动距离为2L时，有效切割长度变为$\frac{L}{2}$，速度设为v，则感应电动势${E}_{2}=B\frac{L}{2}v$，感应电流${I}_{2}=\frac{{E}_{2}}{R}$
由于动过程中保持杆中电流不变，则有I₁=I₂，可得v=2v₀；
（2）在杆向左运动距离为2L过程中，安培力做负功，大小为${W}_{1}=-B{I}_{1}（\frac{\frac{L}{2}+L}{2}）•2L$=$\frac{3{B}^{2}{L}^{3}{v}_{0}}{2R}$
则由动能定理有${W}_{F}+{W}_{1}=\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得：W_F=$\frac{3}{2}m{v}_{0}^{2}+\frac{3{B}^{2}{L}^{3}{v}_{0}}{2R}$；
（3）安培力所做的功等于电阻R产生的焦耳热，则有
$\frac{3{B}^{2}{L}^{3}{v}_{0}}{2R}$=${I}_{1}^{2}Rt$
解得t=$\frac{3L}{2{v}_{0}}$
答：（1）杆向左运动距离为2L时速度的大小为2v₀；
（2）杆向左运动距离为2L过程中，水平外力做的功为$\frac{3}{2}m{v}_{0}^{2}+\frac{3{B}^{2}{L}^{3}{v}_{0}}{2R}$；
（3）杆向左运动距离为2L用的时间为=$\frac{3L}{2{v}_{0}}$．

点评 本题考查电磁感应和安培力，解题的突破点是运动过程中保持杆中电流不变，这样可以求出杆向左运动距离为2L时速度的大小，再结合动能定理和焦耳定律求出杆向左运动距离为2L过程中，水平外力做的功和运动的时间．