Question

1．如图所示，长为L的轻杆下端用铰链固定在光滑的水平面上的C点，上端有一个质量为m的光滑小球A（视为质点），小球旁轻靠有一正方体滑块B．若用一大小为mg的水平恒力（g为重力加速度大小）向右作用于小球A，当杆与水平面成θ=30°角时A、B恰好分离，求：（提示：在圆周运动过程中任一点，质点所受的向心力与其速率的关系为F_向=m$\frac{{v}^{2}}{L}$）
（1）A、B分离瞬间球A的速度大小；
（2）滑块B的质量M；
（3）球A刚要触地时球对杆的作用力F大小和方向．

Answer 1

分析 （1）（2）以A、B系统为研究对象，由动能定理可以求出A的速度大小．A、B分离时B的加速度为零，由平衡条件求出此时杆的作用力，A做圆周运动，应用牛顿第二定律求出B的质量．
（3）从A、B分离到A落地过程，应用动能定理与牛顿第二定律可以求出杆的作用力．

解答 解：（1）如图1所示，设杆与水平面夹θ角时A与B的速度大小分别为υ₁、υ₂，有：υ₂=υ₁sinθ                    
在杆下摆过程中，对轻杆、球与滑块组成的系统，由动能定理得：mgLcosθ+mg（L-Lsinθ）=$\frac{1}{2}$mυ₁²+$\frac{1}{2}$Mυ₂²-0，
分离时A、B不仅有相同的水平速度，而且分离前瞬间A、B在水平方向的加速度也始终相同，
而分离后B的加速度必为零，分离时两者的水平加速度必为零．
由图2，根据平衡条件得：Tcosθ=mg，
沿杆方向的合力提供向心力，由牛顿第二定律得：（Tsinθ+mg）sinθ=m$\frac{{{v}_{1}}^{2}}{L}$，
解得：υ₁=$\sqrt{\frac{（3+\sqrt{3}）gL}{6}}$，M=$\frac{8（3+5\sqrt{3}）}{6+\sqrt{3}}$m；
（2）由（1）可知，M=$\frac{8（3+5\sqrt{3}）}{6+\sqrt{3}}$m；
（3）球A刚要触地时的速度设为υ_A，
从A、B分离到A落地过程中，由动能定理得：
mg（L-Lcosθ）+mgLsinθ=$\frac{1}{2}$mυ_A²-$\frac{1}{2}$mυ₁²，
由牛顿第二定律得：F′-F=m$\frac{{{v}_{A}}^{2}}{L}$，
解得：F′=$\frac{27-5\sqrt{3}}{6}$mg，方向水平向左，
根据牛顿第三定律得F=F′=$\frac{27-5\sqrt{3}}{6}$mg，方向水平向右．
答：
（1）A、B分离瞬间球A的速度大小为$\sqrt{\frac{（3+\sqrt{3}）gL}{6}}$；
（2）滑块B的质量M为$\frac{8（3+5\sqrt{3}）}{6+\sqrt{3}}$m；
（3）球A刚要触地时球对杆的作用力F大小为：=$\frac{27-5\sqrt{3}}{6}$mg，方向：水平向右．

点评 本题是一道力学综合题，难度较大，分析清楚物体的运动过程，应用动能定理、运动的合成与分解、牛顿第二定律即可正确解题．