Question

16．1986年2月20日，发射升空的“和平号”空间站，在服役15年后于2001年3月23日坠落在南太平洋．“和平号”风风雨雨15年里铸就了辉煌业绩，已成为航天史上的永恒篇章，“和平号”空间站总质量137t，工作容积超过400m³，是迄今为止人类探索太空规模最大的航天器，有“人造天宫”之称．在太空运行的这一“庞然大物”按照地面指令准确坠落在预定海域，这在人类历史上还是第一次，“和平号”空间站正常行动时，距离地面平均高度大约为350km，为了保证空间站最终安全坠落，俄罗斯航天局地面控制中心对空间站的运行做了精心安排和控制．在坠落前空间站已经顺利进入指定的低空轨道，此时“和平号”距离地面的高度大约为240km，在“和平号”沿指定的低空轨道运行时，其轨道高度平均每昼夜降低2.7km．设“和平号”空间站正常运行时沿高度为350km圆形轨道运行，坠落前在高度为240km的指定圆形低空轨道运行．而且沿指定的低空轨道运行时，每运行一周空间站高度变化很小，因此，计算时对空间站的每一周的运动都可以作为匀速圆周运动处理．
（1）空间站沿正常轨道运行时的加速度与沿指定的低空轨道运行时加速度大小的比值多大？计算结果保留两位有效数字
（2）空间站沿指定的低空轨道运行时，每运行一周过程中空间站高度平均变化多大？计算中取地球半径R=6.4×10×3km，计算结果保留一位有效数字．

Answer 1

分析 （1）不论空间站沿正常轨道运行，还是沿指定的低空轨道运行，万有引力是空间站运行时的向心力，根据万有引力定律和牛顿第二定律有$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}$=ma，得a=$G\frac{M}{{r}_{\;}^{2}}$．加速度与轨道半径的平方成反比，代入数据求比值．
（2）万有引力提供空间站运行时的向心力$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$，不计地球自转的影响，有$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$=mg，则空间站在指定的低空轨道空间站运行的周期为T=2π$\sqrt{\frac{{r}_{\;}^{3}}{GM}}$=2π $\sqrt{\frac{{r}_{\;}^{3}}{GM}}$，代入数据可计算出T的值．每昼夜空间站在指定的低空轨道绕地球运行圈数为n=$\frac{24h}{T}$，所以空间站沿指定的低空轨道运行时，每运行一周过程中空间站高度平均减小△h=$\frac{2.7km}{n}$，代入数据计算即可．

解答 解：（1）不论空间站沿正常轨道运行，还是沿指定的低空轨道运行，万有引力是空间站运行时的向心力，根据万有引力定律和牛顿第二定律有：
G$\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}$=ma
空间站运行时向心加速度是a=$G\frac{M}{{r}_{\;}^{2}}$，空间站沿正常轨道运行时的加速度与在沿指定的低空轨道运行的半径分别为：
r₁=R+h₁=6.75×10³km；
r₂=R+h₂=6.64×10³km；
加速度大小的比值是 $\frac{{a}_{1}^{\;}}{{a}_{2}^{\;}}=\frac{{r}_{2}^{2}}{{r}_{1}^{2}}=\frac{6.6{4}_{\;}^{2}}{6.6{5}_{\;}^{2}}=0.98{4}_{\;}^{2}=0.97$
（2）万有引力提供空间站运行时的向心力，有G$\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}$=m$\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}$r
不计地球自转的影响，根据G$\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$=mg，有GM=R²g
则空间站在指定的低空轨道空间站运行的周期为：
T=2π$\sqrt{\frac{{r}_{\;}^{3}}{GM}}$=2π $\sqrt{\frac{{r}_{\;}^{3}}{g{R}_{\;}^{2}}}$=2×3.14 $\sqrt{\frac{（6.64×1{0}_{\;}^{6}）_{\;}^{3}}{（6.4×1{0}_{\;}^{6}）_{\;}^{2}×10}}$s=5.3×10³s；
一昼夜的时间为t=24h，则每昼夜空间站在指定的低空轨道绕地球运行圈数为：
n=$\frac{t}{T}$≈16
空间站沿指定的低空轨道运行时，每运行一周过程中空间站高度平均减小：
△h=$\frac{2.7km}{n}$=$\frac{2.7km}{16}$≈2×10^-1km．
答：（1）空间站沿正常轨道运行时的加速度与沿指定的低空轨道运行时加速度大小的比值0.97
（2）空间站沿指定的低空轨道运行时，每运行一周过程中空间站高度平均变化$2×1{0}_{\;}^{-1}km$

点评 本题要求知道解决天体运动问题的一般方法：万有引力提供向心力；星球表面的重力等于万有引力．同时要注意第二问的结果要求保留1位有效数字，这是容易出错的地方，要小心．