Question

6．如图所示，质量为m的小物体放在长直水平面上，用水平细线紧绕在半径为r的圆筒上，t=0时刻圆筒在电动机的带动下由静止开始绕竖直中心轴转动，转动中角速度ω与时间t的关系ω=kt（k为已知常量），已知物块和地面之间动摩擦因数为μ，重力加速度为g，不计细线缠绕的厚度．求：
（1）试分析物块做何种运动；
（2）求从物块开始运动到t=t₁的过程中，细线的拉力对物块所做的功．

Answer 1

分析 （1）物块运动的速度等于圆筒边缘的线速度，根据公式v=ωr求解出线速度表达式，再分析物块的运动情况即可；
（2）从物块开始运动到t=t₁的过程中，有拉力和摩擦力对物块做功，运用动能定理求解拉力做功．

解答 解：（1）物块前进速度大小与圆筒边缘线速度大小相同，根据v=ωr=krt，可知，物块的速度与时间成正比，故物块做初速为零的匀加速直线运动；
（2）根据v=krt，可知，物块的加速度为 a=kr
则物块在t=t₁的时间内通过的位移为 x=$\frac{1}{2}a{t}_{1}^{2}$=$\frac{1}{2}kr{t}_{1}^{2}$
对物块，由动能定理，有：W_F+W_f=$\frac{1}{2}$mv²-0
其中：W_f=-μmgx=-$\frac{1}{2}$μmgkrt₁²
则细线的拉力对物块所做的功：W_F=$\frac{1}{2}$μmgkrt₁²+$\frac{1}{2}$mv²
答：
（1）物块做匀加速直线运动；
（2）细线的拉力对物块所做的功为$\frac{1}{2}$μmgkrt₁²+$\frac{1}{2}$mv²．

点评 本题的关键是抓住物块的速度与圆筒边缘的线速度相等，推导出滑块的线速度公式进行分析，将转动转化为平动来研究分析．