Question

20．倾角为60°的光滑斜面上用细线系住一个质量为m=1kg可看成质点的小球，线与斜面平行，斜面体在外力作用下向右运动，g=10m/s²，求：
（1）当斜面体以加速度a₁=2$\sqrt{3}$ m/s²向右加速时，细线的拉力大小； 
（2）当斜面体以加速度a₂=4$\sqrt{3}$ m/s²向右减速时，细线的拉力大小．

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律求出小球刚好离开斜面体时小球的加速度，判断小球是否离开，若未离开，结合竖直方向上平衡，水平方向合力产生加速度，运用正交分解求出细线的拉力．
（2）根据牛顿第二定律求出细线拉力为零时的加速度，判断细线是否有拉力，若有拉力，分解加速度，结合牛顿第二定律求出细线拉力的大小．

解答 解：（1）当小球刚好离开斜面体（与斜面仍接触，但无挤压）时，设小球的加速度为a₀，此时小球受力情况如图甲所示，则
F_合=mgcot 60°=ma₀，所以a₀=gcot 60°=$\frac{10\sqrt{3}}{3}$ m/s²

a₁=2$\sqrt{3}$ m/s²＜$\frac{10\sqrt{3}}{3}$ m/s²，说明小球没有脱离斜面，斜面对它有支持力，对小球受力分析如图乙所示．
将各力沿竖直方向和水平方向正交分解，得
竖直方向F_Ncos 60°+F_Tsin 60°=mg
水平方向F_Tcos 60°-F_Nsin 60°=ma₁
联立解得F_T=6$\sqrt{3}$ N，F_N=2 N
（2）斜面体向右做匀减速运动时，其加速度向左，当加速度过大时，小球完全有可能沿斜面向上运动，
设细线拉力刚好为零时的加速度为a′，则有mgtan 60°=ma′，所以a′=10$\sqrt{3}$ m/s²＞4$\sqrt{3}$ m/s²，即细线对小球有拉力，
沿斜面方向mgsin 60°-F_T=ma_2x=ma₂cos 60°，
代入数据解得F_T=3$\sqrt{3}$ N．
答：（1）当斜面体以加速度a₁=2$\sqrt{3}$ m/s²向右加速时，细线的拉力大小为$6\sqrt{3}N$；
（2）当斜面体以加速度a₂=4$\sqrt{3}$ m/s²向右减速时，细线的拉力大小为$3\sqrt{3}$N．

点评 解决本题的关键能够正确地受力分析，抓住竖直方向上的合力为零，水平方向上合力为ma进行求解，注意在本题中得出临界状态判断小球是否离开、细线是否有拉力也是解决本题的关键．