题目内容

14．我国早在战国时期的著作《墨经》中就有关于滑轮的记载，展示了中华民族的智慧．如图所示，可看作质点的物块A、B、C用细线通过可以不计质量的轻滑轮连接，滑轮通过轻杆固定在天花板上，另一与A连接的细线固定在地面，B与C间距离、C与地面间距离都是L．已知A的质量为m1，B、C的质量都是m2，且m2＜m1＜2m2．A距滑轮足够远，不计空气阻力．现将A与地面间的细线剪断．求：
（1）A上升过程中的最大速度；
（2）若B恰好着地，求m1与m2的关系；
（3）在A上升过程中，轻杆对滑轮拉力的最大值．

分析 （1）C恰好落地时A的速度最大，对系统，应用动能定理可以求出A的最大速度．
（2）B恰好落地时A、B的速度都为零，应用动能定理可以求出A、B质量的关系．
（3）在A上升过程中，B着地前，有两个过程．第一个过程，剪断细线至C着地．二个过程，C着地后至A、B速度为零，或者至B着地．应用牛顿第二定律求出细线的拉力，然后求出轻杆对滑轮拉力的最大值．

解答 解：（1）由于m1＜2m2，在C着地前，A向上加速运动，又由于m2＜m1，在C着地后，A向上减速运动，所以当C着地时，A具有最大速度，设为vm，对对A、B、C系统，根据动能定理得：
$2{m_2}gL-{m_1}gL=\frac{1}{2}（{m_1}+2{m_2}）υ_m^2$
解得：${υ_m}=\sqrt{\frac{{2（2{m_2}-{m_1}）gh}}{{2{m_2}+m{\;}_1}}}$
（2）B恰好着地，A、B速度都为零，从C着地到B恰好着地，对A、B系统，由动能定理得：
${m_2}gL-{m_1}gL=0-\frac{1}{2}（{m_1}+{m_2}）υ_m^2$
解得：${m_1}=\sqrt{2}{m_2}$
（3）在A上升过程中，B着地前，细线中拉力不为零；B着地后，即使A继续上升，细线中拉力为零．所以，在A上升过程中，轻杆对滑轮拉力的最大值出现在B着地前，设细线中拉力为T，轻杆对滑轮拉力为F，则  F=2T
在A上升过程中，B着地前，有两个过程．
第一个过程，剪断细线至C着地．设A、B、C加速度大小为a1，细线中拉力为T1，轻杆对滑轮拉力为F1，则由牛顿第二定律
对A：T1-m1g=m1a1
对B：2m2g-T1=2m2a1
又 F1=2T1
解得   ${F_1}=\frac{{8{m_1}{m_2}g}}{{（{m_1}+2{m_2}）}}$
第二个过程，C着地后至A、B速度为零，或者至B着地．设A、B加速度大小为a2，细线中拉力为T2，轻杆对滑轮拉力为F2，则由牛顿第二定律得
对A：m1g-T2=m1a2
对B：T2-m2g=m2a2
又  F2=2T2
解得：${F_2}=\frac{{4{m_1}{m_2}g}}{{{m_1}+{m_2}}}$
讨论：由于有：${F_1}=\frac{{8{m_1}{m_2}g}}{{（{m_1}+2{m_2}）}}$＞${F_2}=\frac{{4{m_1}{m_2}g}}{{{m_1}+{m_2}}}$
所以，在A上升过程中，轻杆对滑轮拉力的最大值为：${F_m}=\frac{{8{m_1}{m_2}g}}{{（{m_1}+2{m_2}）}}$
答：（1）A上升过程中的最大速度是$\sqrt{\frac{2（2{m}_{2}-{m}_{1}）gh}{2{m}_{2}+{m}_{1}}}$；
（2）若B恰好着地，m1与m2的关系是 ${m_1}=\sqrt{2}{m_2}$；
（3）在A上升过程中，轻杆对滑轮拉力的最大值是$\frac{8{m}_{1}{m}_{2}g}{{m}_{1}+2{m}_{2}}$．

点评 本题分析清楚物体的运动过程是解题的前提与关键，应用动能定理与牛顿第二定律时，要注意选择研究对象和研究的过程，本题可定性判定出c触地前轻杆对滑轮拉力最大，但必须判定．

练习册系列答案
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