Question

5．如图甲所示，两根相距L，电阻不计的平行光滑金属导轨水平放置，一端与阻值为R的电阻相连．导轨间x＞0一侧存在沿x方向均匀变化且与导轨平面垂直的磁场，磁感应强度B随x变化如图乙所示．一根质量为m、电阻为r的金属棒置于导轨上，并与导轨垂直．棒在外力作用下从x=0处以速度v₀向右做匀速运动．求：

（1）金属棒运动到x=x₀处时，回路中的感应电流；
（2）金属棒从x=0运动到x=x₀的过程中，通过R的电荷量．

Answer 1

分析 （1）金属棒运动到x=x₀处时，B=B₀，根据公式E=BLv求出感应电动势，再由欧姆定律求解感应电流．
（2）先求电流的平均值，再由电量公式、欧姆定律和法拉第电磁感应定律求解电量．

解答 解：（1）由题图可得，金属棒运动到x=x₀处时，B=B₀，则
金属棒产生的感应电动势 E=B₀Lv₀；
回路中的感应电流 I=$\frac{E}{R+r}$
解得I=$\frac{{B}_{0}L{v}_{0}}{R+r}$
（2）由上可得，感应电流随时间均匀变化，平均电流为$\overline{I}$，通过电量为q，则
$\overline{I}$=$\frac{1}{2}$I
又 q=$\overline{I}$t，t=$\frac{{x}_{0}}{{v}_{0}}$
解得 q=$\frac{{B}_{0}L{x}_{0}}{2（R+r）}$
答：
（1）金属棒运动到x=x₀处时，回路中的感应电流为$\frac{{B}_{0}L{v}_{0}}{R+r}$；
（2）金属棒从x=0运动到x=x₀的过程中，通过R的电荷量为$\frac{{B}_{0}L{x}_{0}}{2（R+r）}$．

点评 本题电磁感应与运动学规律的综合应用，要掌握这两部分的基本知识，关键要会推导感应电荷量的表达式，要明确只有电流均匀变化时电流的平均值才等于初末电流的平均值．