Question

5．如图（a）所示，两个完全相同的“人”字型金属轨道面对面正对着固定在竖直平面内，间距为d，它们的上端公共轨道部分保持竖直，下端均通过一小段弯曲轨道与一段直轨道相连，底端置于绝缘水平桌面上．MM′、PP′（图中虚线）之下的直轨道MN、M′N′、PQ、P′Q′长度均为L且不光滑（轨道其余部分光滑），并与水平方向均构成37°斜面，在左边轨道MM′以下的区域有垂直于斜面向下、磁感强度为B₀的匀强磁场，在右边轨道PP′以下的区域有平行于斜面但大小未知的匀强磁场B_x，其它区域无磁场．QQ′间连接有阻值为2R的定值电阻与电压传感器（e、f为传感器的两条接线）．另有长度均为d的两根金属棒甲和乙，它们与MM′、PP′之下的轨道间的动摩擦因数均为μ=$\frac{1}{8}$．甲的质量为m、电阻为R；乙的质量为2m、电阻为2R．金属轨道电阻不计．
先后进行以下两种操作：
操作Ⅰ：将金属棒甲紧靠竖直轨道的左侧，从某处由静止释放，运动到底端NN′过程中棒始终保持水平，且与轨道保持良好电接触，计算机屏幕上显示的电压-时间关系图象U-t图如图（b）所示（图中U已知）；
操作Ⅱ：将金属棒甲紧靠竖直轨道的左侧、金属棒乙（图中未画出）紧靠竖直轨道的右侧，在同一高度将两棒同时由静止释放．多次改变高度重新由静止释放，运动中两棒始终保持水平，发现两棒总是同时到达桌面．（sin37°=0.6，cos37°=0.8）

（1）试求操作Ⅰ中甲释放时距MM′的高度h；
（2）试求操作Ⅰ中定值电阻上产生的热量Q；
（3）试问右边轨道PP′以下的区域匀强磁场B_x的方向和大小如何？在图（c）上画出操作Ⅱ中计算机屏幕上可能出现的几种典型的U-t关系图象．

Answer 1

分析 （1）根据图象求得电压对应的速度，利用动能定理求得下降时的高度；
（2）由动能定理求得产生的热量；
（3）通过牛顿第二定律分别求得，两棒的加速度表达式，根据两者之间的关系确定力的关系．

解答 解：（1）由动能定理得
 $mgh=\frac{1}{2}m{v_1}^2$  
由图象知：棒进入磁场时定值电阻2R的电压为U，通过的电流 ${I_1}=\frac{{{B_0}d{v_1}}}{3R}$
$U={I_1}×2R=\frac{{2{B_0}d{v_1}}}{3}$
联立得 $h=\frac{{9{U^2}}}{{8gB_0^2{d^2}}}$
（2）当甲棒离开磁场时的速度为v₂，则 $2U=\frac{2R}{3R}{B_0}d{v_2}=\frac{2}{3}{B_0}d{v_2}$
对甲棒，由动能定理，有：$mgLsin{37°}-μmgLcos{37°}-{Q_总}=\frac{1}{2}m{v_2}^2-\frac{1}{2}m{v_1}^2$
式中Q_总为克服安培力所做的功，转化成了甲、乙棒上产生的热量；
故${Q_总}=\frac{1}{2}mgL-\frac{{27m{U^2}}}{{8B_0^2{d^2}}}$
定值电阻上产生的热量 $Q=\frac{2}{3}{Q_总}=\frac{1}{3}mgL-\frac{{9m{U^2}}}{{4B_0^2{d^2}}}$．
（3）由右手定则得：B_x沿斜面向下；
（两棒由静止释放的高度越高，甲棒进入磁场时的安培力越大，加速度越小，而乙棒只有摩擦力越大加速度才越小，故乙棒所受安培力应垂直斜面向下）
从不同高度下落两棒总是同时到达桌面，说明两棒运动的加速度时刻相同．
对甲棒，根据牛顿第二定律，有 $mgsinθ-μmgcosθ-\frac{{B_0^2{d^2}v}}{2R}=ma$
对乙棒，根据牛顿第二定律，有 $2mgsinθ-μ（2mgcosθ+{B_x}×\frac{1}{2}×\frac{{{B_0}dv}}{2R}d）=2ma$
则 $\frac{{μ{B_x}{B_0}{d^2}v}}{8R}=\frac{{B_0^2{d^2}v}}{2R}$${B_x}=\frac{4}{μ}{B_0}=32{B_0}$
操作Ⅱ中计算机屏幕上可能出现的U-t关系图象有三种可能，如图（c）所示．
答：
（1）操作Ⅰ中甲释放时距MM′的高度h为$\frac{9{U}^{2}}{8g{B}_{0}^{2}{d}^{2}}$；
（2）操作Ⅰ中定值电阻上产生的热量Q为$\frac{1}{3}mgL-\frac{9m{U}^{2}}{4{B}_{0}^{2}{d}^{2}}$；
（3）匀强磁场B_x的方向沿斜面向下，大小为32B₀，U-t关系图象如所示．

点评 本题要能正确读取图象的信息，准确分析能量的转化情况，由切割产生的感应电动势公式、闭合电路欧姆定律、共点力平衡、能量守恒等知识解答，综合性较强，需加强训练，提高解题能力．