Question

1．如图所示，平行于直角坐标系Y轴的PQ是用特殊材料制成的，只能让垂直打到PQ界面上的电子通过．其左侧有一直角三角形区域，分布着方向垂直纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场，其右侧有竖直向上场强为E的匀强电场．现有速率不同的电子在纸面上从坐标原点O沿不同方向射到三角形区域，不考虑电子间的相互作用．已知电子的电量为e，质量为m，在OAC中，OA=a，θ=60°．求：
（1）当速度方向沿y轴正方向时，能从OC边出磁场的电子所具有的最大速度是多少；
（2）能通过PQ界面的电子所具有的最大速度是多少；
（3）在PQ右侧X轴上什么范围内能接收到电子．

Answer 1

分析 （1）由洛伦兹力做向心力求得速度表达式，然后由几何关系求得最大半径即可得到最大速度；
（2）根据PQ特点由几何关系求得最大半径，即可得到最大速度；
（3）根据几何关系及洛伦兹力做向心力求得进入电场的电子位置和速度的关系，然后由类平抛运动规律求解．

解答 解：（1）粒子在磁场中运动，洛伦兹力做向心力，故有$Bve=\frac{m{v}^{2}}{R}$，所以，$v=\frac{eBR}{m}$；
能从OC边出磁场的电子，当运动轨迹和AC相切时半径最大，故半径最大值R_m=a，所以，能从OC边出磁场的电子所具有的最大速度${v}_{m}=\frac{eBa}{m}$；
（2）要使电子能通过PQ界面，电子飞出磁场的速度方向必须水平向右，由（1）可知：$v=\frac{eBR}{m}$，故R越大v越大；
所以，从C点水平飞出的电子，运动半径最大，对应的速度最大；
故有$（R-a）^{2}+（\sqrt{3}a）^{2}={R}^{2}$，所以，R=2a；故能通过PQ界面的电子所具有的最大速度${v}_{m}′=\frac{2eBa}{m}$；
（3）只有垂直打到PQ界面上的电子通过，故电子进入电场的范围为PQ上C到X轴间的范围；
当粒子在PQ上的纵坐标为y（0＜y≤a）时，粒子在磁场中运动的半径由几何关系可得：$（r-y）^{2}+（\sqrt{3}y）^{2}=r$，所以，r=2y；
那么由洛伦兹力做向心力可得：运动速度$v′=\frac{2eBy}{m}$；
粒子在电场中只受电场力作用，做类平抛运动，故有：$y=\frac{1}{2}×\frac{eE}{m}×{t}^{2}$；
那么，电子打在X轴上的位置为$x=\sqrt{3}a+v′t$=$\sqrt{3}a+\frac{2eBy}{m}×\sqrt{\frac{2my}{eE}}$=$\sqrt{3}a+2By\sqrt{\frac{2ey}{mE}}$，
所以，$\sqrt{3}a＜x≤\sqrt{3}a+2Ba\sqrt{\frac{2ea}{mE}}$；
答：（1）当速度方向沿y轴正方向时，能从OC边出磁场的电子所具有的最大速度是$\frac{eBa}{m}$；
（2）能通过PQ界面的电子所具有的最大速度是$\frac{2eBa}{m}$；
（3）在PQ右侧X轴上$（\sqrt{3}a，\sqrt{3}a+2Ba\sqrt{\frac{2ea}{mE}}]$范围内能接收到电子．

点评 带电粒子的运动问题，加速电场一般由动能定理或匀加速运动规律求解；偏转电场由类平抛运动规律求解；磁场中的运动问题则根据圆周运动规律结合几何条件求解．