Question

5．如图所示，一根长0.1m的细线，一端系着一个质量为0.18kg的小球，拉住线的另一端，使球在光滑的水平桌面上做匀速圆周运动．当小球的转速增加到原来转速的3倍时，细线断裂，这时测得线的拉力比原来大40N．则：（g取10m/s²）
（1）线断裂的瞬间，线的拉力多大？
（2）这时小球运动的线速度多大？
（3）如果桌面高出地面0.8m，线断后小球垂直桌面边缘飞出，落地点离桌面的水平距离为多少？

Answer 1

分析 （1）球在光滑的水平桌面上做匀速圆周运动，由线的拉力提供向心力，根据牛顿第二定律分别对开始时和断开前列方程，结合条件：线断开前的瞬间线的拉力比开始时大40N，求解线的拉力；
（2）设线断时小球的线速度大小为v，此时绳子的拉力提供向心力，根据向心力公式即可求得速度；
（3）小球离开桌面时做平抛运动，竖直方向做自由落体运动，由高度求出时间，根据水平方向做匀速直线运动求出水平距离．

解答 解：（1）小球在光滑桌面上做匀速圆周运动时受三个力作用；重力mg、桌面弹力F_N和细线的拉力F，重力mg和弹力F_N平衡，线的拉力提供向心力，有：
F_n=F=mω²R，
设原来的角速度为ω₀，线上的拉力是F₀，加快后的角速度为ω，线断时的拉力是F₁，则有：
F₁：F₀=ω²：ω₀²=9：1，
又F₁=F₀+40N，
所以F₀=5N，线断时有：F₁=45N．
（2）设线断时小球的线速度大小为v，由F₁=$\frac{m{v}^{2}}{R}$，
代入数据得：v=5m/s．
（3）由平抛运动规律得小球在空中运动的时间为：t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{2×0.8}{10}}$s=0.4s，
则落地点离桌面的水平距离为：x=vt=5×0.4=2m．
答：（1）线断裂的瞬间，线的拉力为45N；
（2）这时小球运动的线速度为5m/s；
（3）落地点离桌面的水平距离为2m．

点评 对于匀速圆周运动动力学问题，关键是确定向心力的来源，平抛运动采用运动的分解进行处理，难度适中．