Question

15．两颗人造卫星A、B绕地球做匀速圆周运动，它们的质量之比m_A：m_B=1：2，轨道半径之比r_A：r_B=1：3，则此时它们与地球的万有引力之比为F_A：F_B=9：2，它们的运行周期之比为T_A：T_B=$\sqrt{3}$：9．

Answer 1

分析 根据万有引力提供向心力，得出线速度、周期与轨道半径的关系，从而求出向心力、线速度、周期之比

解答 解：设地球的质量为M，根据万有引力定律得：$\frac{{F}_{A}}{{F}_{B}}=\frac{\frac{GM{m}_{A}}{{{r}_{A}}^{2}}}{\frac{GM{m}_{B}}{{{r}_{B}}^{2}}}=\frac{{m}_{A}}{{m}_{B}}×\frac{{{r}_{B}}^{2}}{{{r}_{A}}^{2}}=\frac{1}{2}×\frac{{3}^{2}}{1}=\frac{9}{2}$
两颗人造卫星A、B绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，即：
$\frac{GMm}{{r}^{2}}=\frac{m4{π}^{2}r}{{T}^{2}}$
解得：$T=2π\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$
所以他们的运行周期之比为：$\frac{{T}_{A}}{{T}_{B}}=\frac{\sqrt{{{r}_{A}}^{3}}}{\sqrt{{{r}_{B}}^{3}}}=\frac{\sqrt{3}}{9}$
故答案为：$\frac{9}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{9}$．

点评 解决本题的关键掌握万有引力提供向心力，知道线速度、周期与轨道半径的关系