Question

5．一艘小船在200m宽的河中横渡到对岸，已知水流速度是5m/s，小船在静水中的速度是4m/s．
求：（1）欲使船渡河时间最短，船应该怎样渡河？最短时间是多少？船经过的位移多大？
（2）欲使航行位移最短，船应该怎样渡河？最短位移是多少？渡河时间多长？

Answer 1

分析 船航行时速度为静水中的速度与河水流速二者合速度，当以静水中的速度垂直河岸过河的时候渡河时间最短．
因为水流速度大于静水速度，所以合速度的方向不可能垂直河岸，则小船不可能到达正对岸，则当合速度垂直静水速度时，位移最短．

解答 解：（1）当静水速的方向与河岸垂直时，渡河时间最短，最短时间t=$\frac{d}{{v}_{c}}$=$\frac{200}{4}$=50s；
船在水流方向的位移s=v_st=5×50=250m；
那么船经过的位移是x=$\sqrt{20{0}^{2}+25{0}^{2}}$≈320m；
（2）因为水流速度大于静水速度，所以合速度的方向不可能垂直河岸，则小船不可能到达正对岸．当合速度的方向与静水速的方向垂直时，合速度的方向与河岸的夹角最短，渡河航程最小．
设此时静水速的方向与河岸的夹角为θ，cosθ=$\frac{{v}_{c}}{{v}_{s}}$=$\frac{4}{5}$．
解得：夹角θ=37°
根据几何关系，则有：$\frac{d}{s}$=$\frac{vc}{{v}_{s}}$，
因此最短的航程是s=$\frac{5}{4}$d=$\frac{5}{4}×200$m=250m．
渡河时间是t=$\frac{s}{{v}_{合}}$=$\frac{250}{\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}}$≈83.3s；
答：（1）欲使船渡河时间最短，船应该垂直河岸渡河，最短时间是50s，船经过的位移320m；
（2）欲使航行位移最短，船应该偏向上游37°渡河，最短位移是250m，渡河时间83.3s．

点评 小船过河问题属于运动的合成问题，要明确分运动的等时性、独立性，运用分解的思想，看过河时间只分析垂直河岸的速度，分析过河位移时，要分析合速度．