Question

22.一个圆柱形的竖直的井里存有一定量的水，井的侧面和底部是密闭的，在井中固定地插着一根两端开口的薄壁圆管，管和井共轴，管下端未触及井底，在圆管内有一不漏气的活塞，它可沿圆管上下滑动，开始时，管内外水面相齐，且活塞恰好接触水面，如图所示.现用卷扬机通过绳子对活塞施加一个向上的力F，使活塞缓慢向上移动.已知管筒半径r＝0.100 m，井的半径R＝2 r，水的密度＝1.00×10³ kg/m³，大气压p₀＝1.00×10³ Pa，求活塞上升H＝9.00 m的过程中拉力F所做的功.（井和管在水面以上及水面以下的部分都足够长，不计活塞质量，不计磨擦，重力加速度g＝10 m/s².）

Answer 1

22.参考解答：

   从开始提升到活塞升至内外水面高度差为h₀＝＝10 m的过程中，活塞始终与管内液体接触.（再提升活塞时，活塞和水面之间将出现真空，另行讨论.）设活塞上升距离为h₁，管外液面下降距离为h₂，

       

h₀＝h₁＋h₂

                                                                                                                                                 

     因液体体积不变，有

        h₂＝h₁（）＝h₁                                             

     得      h₁＝h₀＝×10 m＝7.5 m                                          

     题给H＝9 m>h₁，由此可知确实有活塞下面是真空的一段过程.

     活塞移动距离从零到h₁的过程中，对于水和活塞这个整体，其机械能的增量应等于除重力外其他力所做的功.因为始终无动能，所以机械能的增量也就等于重力势能增量，即

ΔE＝（r²h₁）g                                               

其他力有管内、外的大气压力和拉力F，因为液体不可压缩，所以管内、外大气压力做的总功

p₀（R²－r²）h₂－p₀r²h₁＝0，

故外力做功就只是拉力F做的功，

由功能关系知W₁＝ΔE                                                                             

     即　　　W₁＝(r²)gh＝r²＝1.18×10⁴ J                 

活塞移动距离从h₁到H的过程中，液面不变，F是恒力F＝r²p₀，

做功  W₂＝F(H－h₁)＝r²p₀(H－h₁)＝4.71×10³ J                                            

     所求拉力F做的总功为W₁＋W₂＝1.65×10⁴ J