Question

5．如图所示，在xoy平面直角坐标系第一象限内分布有垂直向外的匀强磁场，磁感应强度大小B=2.5×10^-2T，在第二象限紧贴y轴和x轴放置一对平行金属板MN（中心轴线过y轴），极板间距d=0.4m，极板与左侧电路相连接．通过移动滑动头P可以改变极板MN间的电压．a、b为滑动变阻器的最下端和最上端（滑动变阻器的阻值分布均匀），a、b两端所加电压U=$\frac{\sqrt{3}}{3}$×10²V．在MN中心轴线上距y轴距离为L=0.4m处有一粒子源S，沿x轴正方向连续射出比荷为$\frac{q}{m}$=4.0×10⁶C/kg，速度为v₀=2.0×10⁴m/s带正电的粒子，粒子经过y轴进入磁场后从x轴射出磁场（忽略粒子的重力和粒子之间的相互作用）．

（1）当滑动头P在ab正中间时，求粒子射入磁场时速度的大小．
（2）当滑动头P在a点时，粒子在磁场中的运动半径．
（3）当滑动头P在ab间某位置时，粒子射出极板的速度偏转角为α，试写出粒子在磁场中运动的时间与α的函数关系，并由此计算粒子在磁场中运动的最长时间．

Answer 1

分析 （1）当滑动头P在ab正中间时，极板间电压为$\frac{1}{2}$U．粒子在电场中做类平抛运动，根据牛顿第二定律和分速度、分位移公式结合列式，可求得粒子射入磁场时速度的大小．
（2）带电粒子以一定的速度进入匀强磁场，在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动．由牛顿第二定律求粒子的轨迹半径．
（3）粒子在磁场中运动的周期仅与粒子的比荷有关，而运动的时间与偏转角有关．粒子射入磁场时速度偏转角越大则粒子在磁场中运动的时间就越大．假设极板间电压为最大值时粒子能射出电场，则此粒子在磁场中运动的时间最长．

解答 解：（1）当滑动头P在ab正中间时，极板间电压U′=$\frac{1}{2}$U，粒子在电场中做类平抛运动，设粒子射入磁场时沿y轴方向的分速度为v_y：

根据牛顿第二定律得 q$\frac{U′}{d}$=ma        ①
又 v_y=at           ②
  L=v₀t        ③
粒子射入磁场时速度的大小设为v，v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$   ④
解得：v=$\sqrt{\frac{13}{3}}$×10⁴m/s≈2.1×10⁴m/s   ⑤
（2）当滑动头P在a端时，粒子在磁场中运动的速度大小为v₀，根据牛顿第二定律有：
  qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{{R}_{0}}$   ⑥
解得：R₀=0.2m   ⑦
（3）当滑动头P在某一位置时，设粒子射出极板时速度的大小为v，偏向角为α，在磁场中圆周运动半径为R．根据速度平行四边形可得：
  v=$\frac{{v}_{0}}{cosα}$      ⑧
由qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$可得：R=$\frac{{R}_{0}}{cosα}$    ⑨
粒子在磁场中做圆周运动的轨迹如图所示，圆心为O′，与x轴交点为D，
设∠O′DO=β，根据几何关系：根据几何关系：$\frac{d}{2}$+$\frac{L}{2}$tanα=Rcosα+Rsinβ  ⑩
又：$\frac{d}{2}$=$\frac{L}{2}$=R₀
可解得：sinα=sinβ
则：β=α  （11）
粒子在磁场中运动粒子在磁场中运动的周期为T：T=$\frac{2πm}{qB}$      （12）
则粒子在磁场中运动的时间：t=$\frac{\frac{π}{2}+2α}{2π}$T
联立得 t=$\frac{m（π+4α）}{2qB}$       （13）
由此结果可知，粒子射入磁场时速度偏转角越大则粒子在磁场中运动的时间就越大．假设极板间电压为最大值 U=$\frac{\sqrt{3}}{3}×1{0}^{2}$V时粒子能射出电场，则此粒子在磁场中运动的时间最长．
由（1）问规律可知当滑动头P在b端时，粒子射入磁场时沿y方向的分速度：v_ym=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$×10⁴m/s        （14）
y方向偏距：y_m=$\frac{{v}_{ym}}{2}•\frac{L}{{v}_{0}}$
则得 y_m=$\frac{\sqrt{3}}{15}$＜0.2m，说明粒子可以射出极板． （15）
此时粒子速度偏转角最大，设为设为α_m：tanα_m=$\frac{{v}_{ym}}{{v}_{0}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，α_m=$\frac{π}{6}$     （16）
故粒子在磁场中运动的最长时间：t_m=$\frac{m（π+4{α}_{m}）}{2qB}$
得：t_m=$\frac{5πm}{6qB}$        （17）
代入数值得：t_m=$\frac{π}{12}×1{0}^{-4}$s（或t_m=2.6×10^-5s）   （18）
答：（1）当滑动头P在ab正中间时，粒子射入磁场时速度的大小2.1×10⁴m/s．
（2）粒子在磁场中做圆周运动的半径为0.2m．
（3）粒子在磁场中运动的最长时间为2.6×10^-5s．

点评 带电粒子在磁场中运动的题目解题步骤为：定圆心、画轨迹、求半径．求时间往往根据轨迹对应的圆心角α，由t=$\frac{α}{2π}$T求解．