Question

8．如图所示，真空中两细束平行单色光a和b从一透明半球的左侧以相同速率沿半球的平面方向向右移动，光始终与透明半球的平面垂直．当b光移动到某一位置时，两束光都恰好从透明半球的左侧球面射出（不考虑光在透明介质中的多次反射后再射出球面）．此时a和b都停止运动，在与透明半球的平面平行的足够大的光屏M上形成两个小光点，已知透明半球的半径为R，对单色光a和b的折射率分别为n₁=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$和n₂=2，光屏M到透明半球的平面的距离为L=（$\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}$）R，不考虑光的干涉和衍射，真空中光速为c，求：
（1）两细束单色光a和b的距离d；
（2）两束光从透明半球的平面入射直至到达光屏传播的时间差△t．

Answer 1

分析 （1）由sinC=$\frac{1}{n}$求出两束光的临界角，由题意知道a、b两光束射到半球圆弧上时入射角等于临界角，由几何知识求解两细束单色光a和b的距离d；
（2）由v=$\frac{c}{n}$求出光在半球中传播的速度，由几何知识求出光在半球内、外传播的距离，即可求得各自传到光屏的时间，从而得到时间差．

解答 解：（1）设a、b两光束的临界角分别为C₁和C₂．
则 sinC₁=$\frac{1}{{n}_{1}}$，sinC₂=$\frac{1}{{n}_{2}}$
代入解得 C₁=60°，C₂=30°
所以两细束单色光a和b的距离 d=RsinC₁-RsinC₂=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$R
（2）a光在半球中传播速度 v₁=$\frac{c}{{n}_{1}}$
a光在半球中传播的时间 t₁=$\frac{Rcos{C}_{1}}{{v}_{1}}$
a光射出半球到射到光屏的距离 s₁=$\frac{L-Rcos{C}_{1}}{cos（90°-{C}_{1}）}$
a光射出半球到射到光屏的时间 t₂=$\frac{{s}_{1}}{c}$
a光射入半球到射到光屏的总时间  t_a=t₁+t₂；
联立解得 t_a=$\frac{（3+\sqrt{3}）R}{3c}$
同理可求得b射入半球到射到光屏的总时间  t_b=$\frac{（\sqrt{3}+1）R}{c}$
故时间差△t=t_b-t_a=$\frac{2\sqrt{3}R}{3c}$
答：（1）两细束单色光a和b的距离d是$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$R；
（2）两束光从透明半球的平面入射直至到达光屏传播的时间差△t是$\frac{2\sqrt{3}R}{3c}$．

点评 本题要掌握全反射临界角公式sinC=$\frac{1}{n}$，能灵活运用几何知识求解相关角度和距离，要作出光路图帮助解答．