Question

18．如图所示，两足够长的平行光滑的金属导轨MN、PQ相距为L，导轨平面与水平面的夹角θ=30°，导轨电阻不计，磁感应强度为B的匀强磁场垂直于导轨平面向上．长为L的金属棒ab垂直于MN、PQ放置在导轨上，且始终与导轨接触良好，金属棒的质量为m、电阻为r=R．两金属导轨的上端连接一个灯泡，灯泡的电阻R_L=R，重力加速度为g．现闭合开关S，给金属棒施加一个方向垂直于杆且平行于导轨平面向上的、大小为F=mg的恒力，使金属棒由静止开始运动，当金属棒达到最大速度时，灯泡恰能达到它的额定功率．下列说法正确的是（　　）

• A． 灯泡的额定功率P_L=$\frac{{m}^{2}{g}^{2}R}{4{B}^{2}{L}^{2}}$
• B． 金属棒能达到的最大速度v_m=$\frac{mgR}{{B}^{2}{L}^{2}}$
• C． 金属棒达到最大速度的一半时的加速度α=$\frac{1}{4}$g
• D． 若金属棒上滑距离为d时速度恰达到最大，则金属棒由静止开始上滑4d的过程中，金属棒上产生的电热Q_r=4mgd-$\frac{{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{2{B}^{4}{L}^{4}}$

Answer 1

分析 当金属棒做匀速直线运动时，速度最大，由平衡条件可以求出最大速度．金属棒达到最大速度的一半时求出安培力的大小，然后又受力分析结合牛顿第二定律可以求出加速度．由能量守恒定律可以求出R上产生的焦耳热．

解答 解：电路中的总电阻是R_L+r=R+R=2R：
A、B、匀强磁场的磁感应强度大小为B，金属棒达到最大速度时产生的电动势：E=BLv_m，
回路中产生的感应电流：I=$\frac{E}{2R}$，
金属棒棒所受安培力：F_安=BIL，
ab棒所受合外力为零时，速度达到最大，由平衡条件得：F-F_安-mgsinα=0，
代入数据解得：v_m=$\frac{mgR}{{B}^{2}{L}^{2}}$；
I=$\frac{BL{v}_{m}}{2R}=\frac{mg}{2BL}$
灯泡的额定功率P_L=I²•R=$\frac{{m}^{2}{g}^{2}R}{4{B}^{2}{L}^{2}}$．故A正确，B正确；
C、金属棒达到最大速度的一半时，感应电动势：$E′=BL\frac{{v}_{m}}{2}=\frac{mgR}{2BL}$
安培力：$F′=BI′L=\frac{E′}{2R}•BL=\frac{1}{4}mg$
设棒的加速度a′则：$ma′=F-mgsin30°-F′=\frac{1}{4}mg$
所以：$a′=\frac{1}{4}g$．故C正确；
D、设金属棒上产生的电热Q_r，整个电路产生的电热为Q_总，
由能量守恒定律得：F•4d=mg•4d•sinα+$\frac{1}{2}$mv_m²+Q_总，
金属棒上产生的电热Q_r：Q_r=$\frac{R}{2R}$Q_总，
代入数据解得：Q_r=mgd-$\frac{{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{2{B}^{4}{L}^{4}}$；故D错误．
故选：ABC

点评 解决本题的关键会根据牛顿第二定律求加速度，以及结合运动学能够分析出金属棒的运动情况，当a=0时，速度达到最大．