Question

11．有两对正对的平行金属板A、B和C、D，分别加上某一电压U₁、U₂后可在板间各自形成匀强电场（不考虑各自在周围产生的电场），A、B板倾斜放置，与水平成α角；C、D板水平放置，其中心线左端N靠近B板边缘，两对金属板间距均为d，C、D板长为$\frac{\sqrt{3}}{2}$d，且在C、D间有水平向外的匀强磁场，磁感应强度为B．当带电荷量为+q、质量为m的带电小球，从A板左下端边缘飞入后恰能沿水平直线穿过A、B板间，然后贴着B板右上端边缘从N点再飞入C、D两板间，又恰好可作匀速圆周运动，经一段圆弧最后从D板上的右端P点飞出（重力加速度为g）．试求：
（1）A、B间和C、D间所加的电压U₁、U₂的大小
（2）小球在A、B间运动加速度大小
（3）小球离开A、B板间时的速度和在C、D板间运动时间
（4）若想让小球在进入C、D间后能保持匀速穿过水平中线，应调节U₂变为U₂′=？

Answer 1

分析 （1）由平衡条件求出电势差．
（2）应用牛顿第二定律求出加速度．
（3）粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律可以求出粒子的速度，然后根据粒子做圆周运动的周期求出运动时间．
（4）由平衡条件可以求出电势差．

解答 解：（1）小球在C、D间能做匀速圆周运动，说明重力与电场力平衡，洛仑兹力提供向心力，
有：q$\frac{{U}_{2}}{d}$=mg，
即：U₂=$\frac{mgd}{q}$，
小球在A、B间能沿水平直线运动，合力应沿水平方向，如图甲

有：F=$\frac{mg}{cosα}$，又：F=q$\frac{{U}_{1}}{d}$，
即：U₁=$\frac{mgd}{qcosα}$；
（2）小球作匀减速直线运动，由受力图甲知：
mgtanα=ma，解得：a=gtanα；
（3）在C、D间轨迹为圆弧，如图乙，由几何关系知

r²=（r-$\frac{d}{2}$）²+（$\frac{\sqrt{3}}{2}$d）²，
解得：r=d，
由牛顿第二定律有：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，
解得：v=$\frac{qBd}{m}$；
另由图乙知，tanθ=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}d}{\frac{d}{2}}$=$\sqrt{3}$，
则有：θ=$\frac{π}{3}$，
运动时间：t₂=$\frac{θ}{2π}$T=$\frac{T}{6}$，
粒子做圆周运动的周期：T=$\frac{2πm}{qB}$，
则：t₂=$\frac{πm}{3qB}$；
（4）在竖直方向须受力平衡，即：
q$\frac{{U}_{2}′}{d}$=mg+qvB，
解得：U₂′=$\frac{mgd}{q}$+$\frac{q{B}^{2}{d}^{2}}{m}$；
答：（1）A、B间和C、D间所加的电压U₁、U₂的大小分别为：$\frac{mgd}{qcosα}$、$\frac{mgd}{q}$．
（2）小球在A、B间运动加速度大小为：gtanα；
（3）小球离开A、B板间时的速度为：$\frac{qBd}{m}$，在C、D板间运动时间为$\frac{πm}{3qB}$；
（4）若想让小球在进入C、D间后能保持匀速穿过水平中线，应调节U₂变为U₂′为$\frac{mgd}{q}$+$\frac{q{B}^{2}{d}^{2}}{m}$．

点评 本题考查了求电势差、求粒子速度与运动时间、加速度问题，分析清楚粒子运动过程是正确解题的前提与关键，应用平衡条件、牛顿第二定律即可正确解题，解题时注意几何知识的应用．