Question

7．如图所示，光滑固定斜面上锁定有质量均为m、长度均为s的两长木板A、B，斜面倾角θ=37°，长木板A的上表面下端有一质量为2m的物块C，开始时两长木板相距s，现给物块C上加一沿斜面向上、大小等于3mg的拉力F，同时给两长木板解除锁定，A、C间刚好不发生滑动，A、B碰撞后粘连在一起．C与A、B上表面的动摩擦因数相同．（最大静摩擦力等于滑动摩擦力），已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，求：
（1）A、C间的动摩擦因数
（2）AB碰撞后的一瞬间共同速度
（3）C从开始相对A滑动到滑离B所有的时间．

Answer 1

分析 （1）先以AC组成的整体为研究的对象，得出共同的加速度，然后以C为研究的对象，求出B受到的摩擦力，最后求出A，C间的动摩擦因数；
（2）若F=3mg，分别求出A与C的加速度，当物块C从木板的一端滑到另一端时，二者之间的位移的差是s，结合运动学的公式，碰撞后一瞬间，两者粘在一起的共同速度为v₃，根据动量守恒2mv₃=mv₂-mv₁列式求解速度；
（3）碰撞后，C以加速度a₁，初速度v₁向上做匀加速运动，A、B整体以初速度v₃向下做匀加速运动，根据牛顿第二定律求匀加速运动的加速度大小a₃，然后根据位移时间关系求解时间．

解答 解：（1）由于解除锁定后，A、C间刚好不发生滑动，则两者一起沿斜面向上做加速运动，设共同加速度a₁，
对A、C整体研究：F-（2m+m）gsinθ=（2m+m）a₁
F=3mg
对C研究：F-2mgsinθ-μ•2mgcosθ=2ma₁
得：a₁=0.4g
μ=$\frac{5}{8}$；

（2）B向下滑动的加速度为：
a₂=gsinθ=0.6g
$\frac{1}{2}{a}_{1}{t}_{1}^{2}$$+\frac{1}{2}{a}_{2}{t}_{1}^{2}$=s
解得：t₁=$\sqrt{\frac{2s}{g}}$
相碰前A的速度大小为v₁=a₁t₁=$\frac{2}{5}\sqrt{2gs}$
B的速度大小为：v₂=a₂t₁=$\frac{3}{5}$$\sqrt{2gs}$
碰撞后一瞬间，两者粘在一起的共同速度为v₃，根据动量守恒有：
2mv₃=mv₂-mv₁
得：v₃=$\frac{1}{10}\sqrt{2gs}$，方向沿斜面向下；

（3）碰撞后，C以加速度a₁，初速度v₁向上做匀加速运动，A、B整体以初速度v₃向下做匀加速运动
做匀加速运动的加速度大小a₃满足：
2mgsinθ-μ•2mgcosθ=2ma₃
a₃=0.1g，
设经过t₂时间C滑离B，以AB整体为参考系，C相对于AB整体向上做匀加速运动，则有：
2s=（v₂+v₃）t₂$+\frac{1}{2}$（a₁+a₂）${t}_{2}^{2}$
解得：t₂=（$\sqrt{10}$-$\sqrt{2}$）$\sqrt{\frac{s}{g}}$．
答：（1）A、C间的动摩擦因数$\frac{5}{8}$；
（2）AB碰撞后的一瞬间共同速度为$\frac{1}{10}\sqrt{2gs}$； 
（3）C从开始相对A滑动到滑离B所有的时间为（$\sqrt{10}$-$\sqrt{2}$）$\sqrt{\frac{s}{g}}$．

点评 解决本题的关键理清物块和木板的运动情况，结合牛顿第二定律、动量定理和运动学公式联合求解，知道加速度是联系力学和运动学的桥梁．