Question

20．跳台滑雪起源于挪威，于1924年被列为首届冬奥会比赛项目．某滑雪轨道如图所示，其中BC段水平，光滑斜面CD与半径为R 的光滑圆弧轨道相切于D点，P为圆弧轨道最低点，且∠POD=θ．A与B、D、P的高度差分别为h₁、h₂、h₃．一个质量为m的滑雪运动员从A点由静止开始自由滑下，经过C点水平滑出后恰好落在斜面CD的中点E 处，紧接着沿轨道继续滑行，到达P点时所受轨道支持力大小为N，运动员可视为质点，不计空气阻力，重力加速度大小为g．求：
（1）运动员从C点运动到E点的时间t及从C点飞出时的速度；
（2）运动员到达D点时的动能E_k；
（3）运动员在E点损失的机械能△E．

Answer 1

分析 （1）先由机械能守恒定律求出运动员从C点飞出时的速度．从C点飞出后运动员做平抛运动，再根据竖直位移与水平位移之比等于tanθ，求运动到E点的时间t．
（2）先由牛顿第二定律求出运动员到达P点时的速度，再研究DP过程，由机械能守恒定律求运动员到达D点时的动能E_k．
（3）由机械能守恒定律求出运动员落在E点后瞬间的动能，由速度合成求出落在E点前瞬间的速度，得到动能，从而求出损失的机械能△E．

解答 解：（1）运动员从A到C，由机械能守恒定律得：
mgh₁=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$，
得：v_C=$\sqrt{2g{h}_{1}}$
从C点飞出后运动员做平抛运动，斜坡CD的倾角等于θ，落在E点时有：
tanθ=$\frac{y}{x}$=$\frac{\frac{1}{2}g{t}^{2}}{{v}_{C}t}$
可得：t=$\frac{2tanθ\sqrt{2g{h}_{1}}}{g}$
（2）在P点，由牛顿第二定律得：
N-mg=m$\frac{{v}_{P}^{2}}{R}$
从D到P的过程，由机械能守恒定律有：
$\frac{1}{2}m{v}_{P}^{2}$-E_k=mgR（1-cosθ）
联立解得：E_k=$\frac{1}{2}N$-mgR（$\frac{3}{2}-cosθ$）
（3）运动员落在E点瞬间的速度为：
v_E=$\sqrt{{v}_{C}^{2}+（gt）^{2}}$=$\sqrt{2g{h}_{1}（1+4ta{n}^{2}θ）}$
E到D的过程，由机械能守恒定律得：mg$\frac{{h}_{2}-{h}_{1}}{2}$=E_k-E_kE
可得，运动员落在E点后瞬间的动能为：
E_kE=$\frac{1}{2}N$-mgR（$\frac{3}{2}-cosθ$）-mg$\frac{{h}_{2}-{h}_{1}}{2}$
则运动员在E点损失的机械能为：
△E=$\frac{1}{2}m{v}_{E}^{2}$-E_kE=mgh₁（1+4tan²θ）-$\frac{1}{2}N$+mgR（$\frac{3}{2}-cosθ$）+mg$\frac{{h}_{2}-{h}_{1}}{2}$
答：（1）运动员从C点运动到E点的时间是$\frac{2tanθ\sqrt{2g{h}_{1}}}{g}$，从C点飞出时的速度是$\sqrt{2g{h}_{1}}$；
（2）运动员到达D点时的动能E_k是$\frac{1}{2}N$-mgR（$\frac{3}{2}-cosθ$）；
（3）运动员在E点损失的机械能△E是mgh₁（1+4tan²θ）-$\frac{1}{2}N$+mgR（$\frac{3}{2}-cosθ$）+mg$\frac{{h}_{2}-{h}_{1}}{2}$．

点评 本题是多过程问题，分析清楚运动员的运动过程，把握每个过程的物理规律是关键．要明确运动员落在斜面上时意味着位移方向与水平方向的夹角等于斜面的倾角，根据分位移关系求出时间．