Question

13．如图甲所示，静电除尘装置中有长为L、宽为b、高为d的矩形通道，其前、后面板使用绝缘材料，上下面板使用金属材料．图乙是装置的截面图，上、下两板与电压恒定的高压直流电源相连．质量为m、电荷量为-q、分布均匀的尘埃以水平速度v₀进入矩形通道、当带负电的尘埃碰到下板后其所带电荷被中和，同时被收集．通过调整两板间距d可以改变收集效率η．当d=d₀时，η为81%（即离下板0.81d₀范围内的尘埃能够被收集）．不计尘埃的重力及尘埃之间的相互作用：
（1）求上下板间电压
（2）求收集效率为100%时，两板间距的最大值d；
（3）求收集效率为η与两板间距d 的函数关系．

Answer 1

分析 （1）根据类平抛运动分析方法：水平方向匀速和竖直方向匀加速具有等时性，即粒子在电场中运动的时间不超过$\frac{L}{{v}_{0}}$，所以得出临界问题的临界条件即可；
（2）再由竖直方向匀加速直线运动的规律求解相关问题即可；
（3）结合第二问中的临界条件，得出恰好经过下板右边缘的离子的竖直位移表达式，再由收集效率的表达式η=$\frac{y}{d}$，可得收集率η与两板间距U的函数关系．

解答 解：（1）收集效率η为81%，即离下板0.81d₀的尘埃恰好到达下板的右端边缘，设高压电源的电压为U，则在水平方向有
L=v₀t   ①
在竖直方向有：$0.81{d}_{0}=\frac{1}{2}a{t}^{2}$   ②
其中：$a=\frac{F}{m}=\frac{qU}{m{d}_{0}}$   ③
联立得：U=$\frac{0.81{d}_{0}^{2}m{v}_{0}^{2}}{q{L}^{2}}$
（2）当减小两板间距时，能够增大电场强度，提高装置对尘埃的收集效率．收集效率恰好为100%时，两板间距即为d_m．如果进一步减小d，收集交率仍为100%．因此，在水平方向有：
L=v₀t ④
在竖直方向有：${d}_{m}=\frac{1}{2}a′{t}^{2}$  ⑤
其中：a′=$\frac{F′}{m}=\frac{qE′}{m}=\frac{qU7}{m{d}_{m}}$   ⑥
联立①-⑥各式可得：d_m=0.9d₀     ⑦
（3）通过前面的求解可知，当d≤0.9d₀时，收集效率η均为100%     ⑧
当d＞0.9d₀时，设距下板x的尘埃恰好到达下板的右端边缘，此时有：$x=\frac{1}{2}•\frac{qU}{md}•（\frac{L}{{v}_{0}}）^{2}$   ⑨
据题意，收集效率为η=$\frac{x}{d}$
联立①、②、③、⑨及⑩式可得η=$\frac{0.81{d}_{0}^{2}}{{d}^{2}}$
答：（1）上下板间电压是$\frac{0.81{d}_{0}^{2}m{v}_{0}^{2}}{q{L}^{2}}$；
（2）收集效率为100%时，两板间距的最大值d是0.9d₀；
（3）收集效率为η与两板间距d 的函数关系是η=$\frac{0.81{d}_{0}^{2}}{{d}^{2}}$．

点评 本题主要考查了带电粒子在匀强电场中的偏转问题，考查对临界问题和类平抛运动问题的分析、解决问题的能力．