Question

3．如图所示，一列平面波朝着两种介质的界面传播，A₁A₂是它在介质I中的一个波面，C₁和C₂位于两种介质的界面上，B₁B₂是这列平面波进入介质II后的一个波面；A₁C₁和A₂C₂是它的两条波线，入射角为θ₁，折射角为θ₂，波在I、Ⅱ介质中的传播速度分别为v₁和v₂．
（1）试根据惠更斯原理证明：$\frac{{sin{θ_1}}}{{sin{θ_2}}}=\frac{v_1}{v_2}$；
（2）若已知θ₁=53°（sin 53°=0.8），A₁A₂的长度为0.6m，介质I和介质II中的波速之比为v₁：v₂=4：3，则：A₁C₁B₁与A₂C₂B₂的长度相差多少？

Answer 1

分析 （1）根据惠更斯原理画出波面C₁D₁与C₂D₂，根据几何关系得到入射角正弦和折射角的正弦．结合光传播距离公式s=vt求解．
（2）根据光线在两种介质中的速度之比为入射角和折射角的正弦之比，通过几何关系求出A₁C₁B₁和A₂C₂B₂的长度相差的距离

解答 解：（1）证明：如图，根据惠更斯原理画出波面C₁D₁与C₂D₂．
在RT△C₁D₁C₂和RT△C₂D₂C₁中：∠C₂C₁D₁=θ₁，∠C₁C₂D₂=θ₂，有：
 $sin{θ_1}=\frac{{{D_1}{C_2}}}{{{C_1}{C_2}}}$，$sin{θ_2}=\frac{{{C_1}{D_2}}}{{{C_1}{C_2}}}$
又因为 D₁C₂=v₁t，C₁D₂=v₂t
所以联立各式得：$\frac{{sin{θ_1}}}{{sin{θ_2}}}=\frac{v_1}{v_2}$ 得证
（2）根据$\frac{{sin{θ_1}}}{{sin{θ_2}}}=\frac{v_1}{v_2}$，v₁：v₂=4：3和θ₁=53°得：θ₂=37°
所以C₁C₂=1.0m，D₁C₂=0.8m，C₁D₂=0.6m
所以A₁C₁B₁与A₂C₂B₂的长度相差：△r=D₁C₂-C₁D₂=0.2m
答：（1）证明见上．
（2）A₁C₁B₁与A₂C₂B₂的长度相差0.2m．

点评 本题对数学几何能力要求较高，关键要理解并掌握惠更斯原理，画出波面，运用数学知识求解入射角和折射角正弦．