Question

12．如下图所示．一固定的粗糙斜面ABC，在其右端B点紧邻一质量为M=1kg的长木板，长木板静止在粗糙地面上．现将一质量为m=1kg且可视为质点的滑块轻轻放在斜面顶端A点滑下，从B点滑上长木板（不考虑滑块从斜面低端到长木板连接处的速度损失）．已知斜面倾角θ=37°，斜面长度L_AB=9m，滑块与斜面间的动摩擦因数为μ₁=0.5，滑块与长木板间的动摩擦因数为μ₂=0.4，长木板与地面间动摩擦因数为μ₃=0.1，g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8，求：
（1）滑块刚滑到长木板的速度v₀的大小；
（2）从滑块滑上长木板到二者一起停下所用的时间；
（3）为保证滑块不从长木板上滑下，长木板的最小长度是多少？

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律可求得物体的加速度，再由运动学公式可求得物块刚滑到长木板上时的速度大小；
（2）分别对滑块和木板进行分析，根据牛顿第二定律求出各自的加速度；再由运动学公式明确达共同速度的时间；再对整体分析，由牛顿第二定律及运动学公式可求得停止的时间；
（3）根据运动学公式求得两小球达到共速时所经历的位移，再由位移公式求解各自的位移，即可明确最小长度．

解答 解：（1）对滑块，受到重力、支持力和摩擦力作用，
根据牛顿第二定律可得，mgsinθ-μ₁mgcosθ=ma₁，
代入数据可解得：a₁=2m/s²，
由速度位移公式得，滑块刚滑到长木板的速度：
v₀=$\sqrt{2{a}_{1}{L}_{AB}}$=$\sqrt{2×2×9}$m/s=6m/s．
（2）滑块滑上长木板，对滑块，由牛顿第二定律得，
μ₂mg=ma₂，
解得：a₂=4m/s²，方向向左；
对长木板，由牛顿第二定律得，
μ₂mg-μ₃（m+M）g=Ma₃，
解得：a₃=2m/s²，方向向右；
二者速度相等经历的时间为t₁：
则由速度公式可得：v₁=v₀-a₂t₁=a₃t₁，
解得：t₁=1s，v₁=2m/s；
滑块和长木板共速后再共同做匀减速运动，
μ₃（M+m）g=（M+m）a₄，
解得：a₄=1m/s²，
滑块和长木板速度减小到零所用的时间：
t₂=$\frac{{v}_{1}}{{a}_{4}}$=$\frac{2}{1}$s=2s，
故从滑块滑上长木板到二者一起停下所用的时间：
t=t₁+t₂=1s+2s=3s．
（3）当滑块和长木板达到共同速度时，滑块的位移：
x₁=v₀t₁-$\frac{1}{2}$a₂${t}_{1}^{2}$=6×1m-$\frac{1}{2}$×4×1²m=4m，
木板的位移：
x₂=$\frac{1}{2}$a₃${t}_{1}^{2}$=$\frac{1}{2}$×2×1²m=1m，
故木板的长度至少为：
L′=x₁-x₂=4m-1m=3m．
答：（（1）滑块刚滑到长木板的速度v₀的大小为6m/s；
（2）从滑块滑上长木板到二者一起停下所用的时间为3s；
（3）为保证滑块不从长木板上滑下，长木板的最小长度是3m．

点评 本题考查牛顿第二定律和匀变速直线运动规律的综合应用，涉及两个物体多个过程，要注意正确确定研究对象，做好受力分析，再根据牛顿第二定律结合运动学公式进行分析求解；注意掌握应用加速度的桥梁作用．