Question

19．如图所示，平面直角坐标系xOy在第一象限内存在水平向左的匀强电场，第二、四象限内存在垂直纸面向里的匀强磁场，第三象限内存在与x轴负方向成30°角斜向上的匀强电场．一质量为m、电荷量为q的带正电粒子以一定初速度从y轴上的A点与y轴正方向成60°角垂直磁场方向射入第二象限，粒子从x轴上的C点与x轴正方向成30°角进入第三象限，粒子到达y轴上的D点（没画出）时速度刚好减半，经第四象限内磁场偏转后又能垂直x轴进入第一象限内，最后恰好回到A点，已知OA=$\sqrt{3}$a，第二象限内匀强磁场的磁感应强度为B，粒子重力不计，求：
（1）粒子的初速度v₀和第四象限内匀强磁场的磁感应强度B₁；
（2）第一、三象限内匀强电场的电场强度E₁、E₂；
（3）粒子在第一、三象限内运行的时间比t₁：t₃．

Answer 1

分析 （1）由粒子在第二象限内做匀速圆周运动的向心力由洛仑兹力提供，结合几何关系其直径恰为AC．可以求得粒子的初速度，再由题意结合几何关系求出粒子在第四象限内做匀速圆周运动的半径，由半径公式可以求出第四象限内磁感应强度．
（2）在第三象限做匀减速直线运动粒子速度减半，由运动学公式求出加速度，从而就求出了第三象限的电场强度；粒子在第一象限做类平抛运动，由水平位移和竖直位移公式求出水平面方向的加速度，从而也求出了第一象限的电场强度．
（3）第一象限的时间可以从竖直方向的匀速直线运动位移除以速度得到，而第三象限由匀减速直线运动规律求出，均用题目所给的物理量表示，从而也就求出了在两个象限的时间之比．

解答 解：（1）粒子在第二象限内运动正好完成半个圆周，则：$2{R}_{2}cos30°=OA=\sqrt{3}a$
  所以R₂=a  
  解得：${v}_{0}=\frac{Bqa}{m}$  
  粒子在第三象限中运动时有：CD=$2{R}_{2}tan30°=\frac{2\sqrt{3}}{3}a$
  粒子在第四象限中运动时有：${R}_{4}=CDtan30°=\frac{2}{3}a$
  而$q{B}_{1}{v}_{1}=\frac{m{{v}_{1}}^{2}}{{R}_{4}}$   ${v}_{1}=\frac{1}{2}{v}_{0}$
  解得：${B}_{1}=\frac{3}{4}B$
（2）在第一象限内：水平位移 x₁=R₄+R₄sin30°=a 
竖直位移 ${y}_{1}=OA=\sqrt{3}a$
  由运动学规律有：${x}_{1}=\frac{1}{2}×\frac{q{E}_{1}}{m}×{{t}_{1}}^{2}$       
  y₁=v₁t₁
  解得 ${E}_{1}=\frac{{B}^{2}qa}{6m}\\;\\;\$  
${t}_{1}=\frac{2\sqrt{3}m}{Bq}$   
  在第三象限内：${{v}_{0}}^{2}-{{v}_{1}}^{2}=2×\frac{q{E}_{2}}{m}×CD$    
  代入解得：${E}_{2}=\frac{3\sqrt{3}{B}^{2}qa}{16m}$
  （3）在第三象限内有：
  ${v}_{0}-{v}_{1}=\frac{q{E}_{2}}{m}×{t}_{3}$  
 解得t₃=$\frac{8\sqrt{3}m}{9Bq}$
  所以  $\frac{{t}_{1}}{{t}_{2}}$=$\frac{9}{4}$
答：（1）粒子的初速度v₀和$\frac{Bqa}{m}$第四象限内匀强磁场的磁感应强度$\frac{3}{4}B$．
（2）第一、三象限内匀强电场的电场强度分别为$\frac{{B}^{2}qa}{6m}$  和  $\frac{3\sqrt{3}{B}^{2}qa}{16m}$． 
（3）粒子在第一、三象限内运行的时间比为9：4．

点评 本题物理过程明显，每一个过程用相应的规律写出相关方程，再加上题设的条件，画出运动轨迹，一般能得到正确结果．比较困难一点的是粒子在第四象限的圆周运动的圆心的确定，从初末速度的方向画垂线，相交点就是圆心．当然本题还多次涉及到特殊直角三角形边长关系，不能初心大意．