Question

18．飞船沿半径为R的圆周绕地球运动，其周期为T．如果飞船要返回地面，可在轨道上的某一点A处，将速率降低到适当数值，从而使飞船沿着以地心为焦点的椭圆轨道运动，椭圆轨道和地球表面在B点相切，如图所示，如果地球半径为R₀，求：
（1）飞船由A点到B点所需的时间；
（2）飞船在椭圆轨道上运动时，通过A、B两点时速率之比．

Answer 1

分析 （1）根据开普勒第三定律，结合椭圆轨道半长轴的大小，求出飞船在椭圆轨道上的周期，从而求出飞船由A点到B点所需的时间．
（2）根据开普勒第二定律即可求出．

解答 解：（1）根据题意得椭圆轨道的半长轴r=$\frac{{R+R}_{0}}{2}$．
根据开普勒第三定律得，$\frac{{R}^{3}}{{T}^{2}}$=$\frac{{r}^{3}}{{T′}^{2}}$，
因为r=$\frac{{R+R}_{0}}{2}$，解得T′=$\sqrt{{（\frac{{R+R}_{0}}{2R}）}^{3}}$T．
则飞船由A点到B点的运动时间t=$\frac{T′}{2}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{（\frac{{R+R}_{0}}{2R}）}^{3}}$T．
（2）飞船位于A点时，设角速度为ω_A，飞船在A点的速率：v_A=ω_A•R
飞船在B点的速率：v_B=ω_B•R₀
则经过时间t，飞船与地球球心之间的连线扫过的面积：$S=\frac{1}{2}θ•{R}^{2}=\frac{1}{2}{ω}_{A}•t{R}^{2}$
同理，在B点：$S=\frac{1}{2}β•{R}_{0}^{2}=\frac{1}{2}{ω}_{B}t•{R}_{0}^{2}$
可得：$\frac{{v}_{A}}{{v}_{B}}$=$\frac{\frac{2S}{t{R}^{2}}•R}{\frac{2S}{t{R}_{0}^{2}}•{R}_{0}}$=$\frac{{R}_{0}}{R}$
答：（1）飞船由A点到B点所需的时间是$\frac{1}{2}$$\sqrt{{（\frac{{R+R}_{0}}{2R}）}^{3}}$T．
（2）飞船在椭圆轨道上运动时，通过A、B两点时速率之比是$\frac{{R}_{0}}{R}$．

点评 由题目的描述，飞船由A点到B点所需的时间应是椭圆轨道的半个周期．关键掌握开普勒第三定律，并能灵活运用．