Question

5．相互平行的两根足够长的金属导轨置于水平面上，导轨光滑，间距为d，导轨的左端连接有阻值为R的电阻，导轨自身电阻不计，垂直于导轨平面的匀强磁场的磁感应强度为B，现有一质量为m，电阻不计的金属棒垂直置于导轨上．
（1）若给金属棒以向右的初速度v₀，求在金属棒整个运动过程中电阻R上的焦耳热Q₁
（2）若给金属棒施加一水平向右的恒力F，已知从金属棒开始运动到稳定运行的过程中，电阻R上的焦耳热为Q₂，求此过程中流过R的电量q．

Answer 1

分析 （1）由能量的转化和守恒可知，金属棒的动能会全部转化为电阻上的焦耳热．
（2）达到稳定时安培力与F等大反向，可得此时的速度，此过程中拉力做功转化为电阻上的焦耳热和金属棒的动能，再由感应电量的表达式$q=\frac{△∅}{R}$，可得此过程中流过R的电量q．

解答 解：（1）由能量的转化和守恒可知，金属棒的动能会全部转化为电阻上的焦耳热，若给金属棒以向右的初速度v₀，在金属棒整个运动过程中电阻R上的焦耳热Q₁为：
${Q}_{1}=\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$…①
（2）达到稳定时安培力与F等大反向，设此时导体棒的速度为v，位移为x，由此可得：
$F=BIL=\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$…②
解得：$v=\frac{FR}{{B}^{2}{L}^{2}}$…③
此过程中拉力做功转化为电阻上的焦耳热和金属棒的动能：
$Fx={Q}_{2}+\frac{1}{2}m{v}^{2}$…④
由感应电量的表达式：
$q=\frac{△∅}{R}$=$\frac{BLx}{R}$…⑤
解得：$x=\frac{qR}{BL}$…⑥
由③④⑥解得：$q=\frac{BL{Q}_{2}}{FR}+\frac{mFR}{2{B}^{4}{L}^{4}}$
答：（1）若给金属棒以向右的初速度V₀，求在金属棒整个运动过程中电阻R上的焦耳热$\frac{1}{2}{mv}_{0}^{2}$
（2）若给金属棒施加一水平向右的恒力F，已知从金属棒开始运动到刚达到稳定运行的过程中，电阻R上的焦耳热为Q，此过程中流过R的电量$\frac{BL{Q}_{2}}{FR}+\frac{mFR}{2{B}^{4}{L}^{4}}$

点评 解决本题关键是掌握好能量的转化和守恒，另一个重点是要掌握由感应电量的表达式$q=\frac{△∅}{R}$．