Question

7．如图所示，细绳一端系着质量M的物体，静止在水平面上，另一端通过光滑的小孔吊着质m的物体，M的中心与圆孔距离为d，并知M和水平面的最大静摩擦力为f_m（mg＞f_m）现使此平面绕中心轴线转动，问角速度ω在什么范围m会处于静止状态？

Answer 1

分析 当此平面绕中心轴线以角速度ω转动时，若M恰好要向里滑动时，ω取得最小值，此时M所受的静摩擦力达到最大，方向沿半径向外，由最大静摩擦力和绳子拉力的合力提供M所需要的向心力．若M恰好要向外滑动时，ω取得最大值，此时M所受的静摩擦力达到最大，方向沿半径向里，由最大静摩擦力和绳子拉力的合力提供M所需要的向心力．根据牛顿第二定律分别求出ω的最小值和最大值，即可得到ω的取值范围．

解答 解：设此平面角速度ω的最小值为ω₁，此时M所受的静摩擦力达到最大，方向沿半径向外，则由牛顿第二定律得
   T-f_m=M${ω}_{1}^{2}L$，
又T=mg
联立得 mg-f_m=M${ω}_{1}^{2}L$，
解得：ω₁=$\sqrt{\frac{mg-{f}_{m}}{ML}}$
设此平面角速度ω的最大值为ω₂，此时M所受的静摩擦力达到最大，方向沿半径向里，则由牛顿第二定律得
  T+f_m=M${ω}_{2}^{2}L$，
又T=mg
解得：ω₂=$\sqrt{\frac{mg+{f}_{m}}{ML}}$
为使m处于静止状态，角速度ω的范围为：$\sqrt{\frac{mg-{f}_{m}}{ML}}≤ω≤\sqrt{\frac{mg+{f}_{m}}{ML}}$．
答：为使m处于静止状态，角速度ω的范围为：$\sqrt{\frac{mg-{f}_{m}}{ML}}≤ω≤\sqrt{\frac{mg+{f}_{m}}{ML}}$

点评 本题是圆周运动中临界问题，抓住当M恰好相对此平面滑动时静摩擦力达到最大，由牛顿第二定律求解角速度的取值范围．