Question

13．如果把水星和金星绕太阳的运动视为匀速圆周运动，从水星与金星在一条直线上开始计时，若天文学家测得在相同时间内水星转过的角度为θ₁；金星转过的角度为θ₂（θ₁、θ₂均为锐角），则由此条件可求得（　　）

• A． 水星和金星绕太阳运动的周期之比
• B． 水星和金星的密度之比
• C． 水星和金星到太阳的距离之比
• D． 水星和金星绕太阳运动的向心加速度大小之比

Answer 1

分析 相同时间内水星转过的角度为θ₁；金星转过的角度为θ₂，可知道它们的角速度之比，绕同一中心天体做圆周运动，万有引力提供向心力：$\frac{GMm}{{r}^{2}}=m{ω}^{2}r$．，可求出轨道半径比，以及向心加速度比．

解答 解：A、相同时间内水星转过的角度为θ₁；金星转过的角度为θ₂，可知它们的角速度之比为θ₁：θ₂．周期$T=\frac{2π}{ω}$，则周期比为θ₂：θ₁．故A正确．
   B、水星和金星是环绕天体，无法求出质量，也无法知道它们的半径，所以求不出密度比．故B错误．
   C、万有引力提供向心力：$\frac{GMm}{{r}^{2}}=m{ω}^{2}r$，解得：$r=\root{3}{\frac{GM}{{ω}^{2}}}$．知道了角速度比，就可求出轨道半径之比．故C正确．
   D、根据a=rω²，轨道半径之比、角速度之比都知道，很容易求出向心加速度之比．故D正确．
故选：ACD

点评 解决本题的关键掌握万有引力提供向心力：$\frac{GMm}{{r}^{2}}=m{ω}^{2}r$．以及知道要求某一天体的质量，要把该天体放在中心天体位置，放在环绕天体位置，被约去，求不出来