Question

14．如图所示，一个半径为R=1.00m的$\frac{1}{4}$粗糙圆孤轨道，固定在竖直平面内，其下端切线是水平的，轨道下端距地面高度为h=1.25m在轨道末端放有质量为m_B=0.05kg的小球（视为质点），B左侧轨道下装有微型传感器，另一质量为m_A=0.10kg的小球A（也视为质点）由轨道上端点从静止开始释放，运动到轨道最低处时，传感器显示读数为2.6N，A与B发生正碰，碰后B小球水平飞出，落到地面时的水平位移为s=1.00m，不计空气阻力，重力加速度取g=10m/s²．求：
（1）小球A运动到轨道最低处时的速度大小
（2）小球A在碰前克服摩擦力所做的功；
（3）A与B碰撞过程中，系统损失的机械能．

Answer 1

分析 （1）小球A在圆弧轨道上做圆周运动，经过最低点时由合力提供向心力，由牛顿第二定律可以求出小球A运动到轨道最低处时的速度大小．
（2）对于A球下滑的过程，利用动能定理可以求出小球A克服摩擦力做的功．
（3）小球B离开轨道后做平抛运动，由平抛运动规律可以求出碰后B的速度，然后由动量守恒定律求出碰撞后A的速度，再由能量守恒定律求碰撞过程系统损失的机械能．

解答 解：（1）A球在最低点时，由牛顿第二定律有：
F_A-m_Ag=${m}_{A}\frac{{v}_{A}^{2}}{R}$
解得：v_A=4.00m/s   
（2）对于A球下滑的过程，由动能定理有：
m_AgR-W_f=$\frac{1}{2}{m_A}v_A^2$
可得：W_f=0.20J
（3）碰后对B球平抛运动的过程有：
  $\left\{\begin{array}{l}h=\frac{1}{2}g{t^2}\\ s=v{'_B}t\end{array}\right.$
可得：v′_B=2.0m/s 
A、B碰撞过程，取水平向右为正方向，由动量守恒定律有：
m_Av_A=m_Av′_A+m_Bv′_B 
可得：v′_A=3.0m/s
由能量守恒定律得A与B碰撞过程中，系统损失的机械能：
△E_损=$\frac{1}{2}{m_A}v_A^2-\frac{1}{2}{m_A}v'_A^2-\frac{1}{2}{m_B}v'_B^2$
解得：△E_损=0.25J
答：（1）小球A运动到轨道最低处时的速度大小是4.00m/s．
（2）小球A在碰前克服摩擦力所做的功是0.20J；
（3）A与B碰撞过程中，系统损失的机械能是0.25J．

点评 本题是多研究对象多过程问题，分析清楚物体运动过程，应用牛顿第二定律、动能定理、平抛运动规律、动量守恒定律即可正确解题，解题时要注意过程的选择与正方向的选择．