Question

15．如图甲所示，水平面内的直角坐标系的第一象限有磁场分布，方向垂直于水平面向下，磁感应强度沿y轴方向没有变化，沿x轴方向B与x成反比，如图乙所示．顶角θ=45°的光滑金属长导轨MON固定在水平面内，ON与x轴重合，一根与ON垂直的长导体棒在水平向右的外力作用下沿导轨向右滑动，导体棒在滑动过程中始终与导轨接触．已知t=0时，导体棒位于顶点O处，导体棒的质量为m=1kg，回路接触点总电阻恒为R=0.5?，其余电阻不计．回路电流I与时间t的关系如图丙所示，图线是过原点的直线．求：

（1）t=2s时回路的电动势E；
（2）0-2s时间内流过回路的电荷量q和导体棒的位移s；
（3）导体棒滑动过程中水平外力F的瞬时功率P（单位：W）与横坐标x（单位：m）的关系式．

Answer 1

分析 （1）由I-t图象读出t=2s时的感应感应电流得大小，再由E=IR求出电动势．
（2）根据感应电流图象的面积表示电量，用欧姆定律和安培力表达式确定棒的运动性质，结合运动学知识求解．
（3）运用牛顿第二定律求解F的表达式，有运动公式确定位移表达式，最后确定关系．

解答 解：（1）根据I-t图象中的图线是过原点的直线特点I=2t，可得到t=2s时金属棒产生的感应电流为：I=4A
由欧姆定律得：E=IR=4×0.5=2V
（2）流过回路中的电流为图象与时间轴围成的面积：q=$\frac{1}{2}$×2×4=4C，对回路由欧姆定律得：$I=\frac{E}{R}=\frac{BLv}{R}$，而L=xtan45°=x，由B-x图象可知：B=$\frac{1}{x}$，
解得电流：I=$\frac{\frac{1}{x}xv}{R}$=$\frac{v}{R}$，由（1）知：I=2t，则由：v=2Rt=t，根据加速度定义式：a=$\frac{△v}{△t}$=1m/s²，故导体棒做匀加速运动，位移：$x=\frac{1}{2}a{t}^{2}=\frac{1}{2}×1×{2}^{2}=2m$．
（3）对导体棒受力分析得：F-F_安=ma，解得：$F=ma+\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}=1×1+\frac{（\frac{1}{x}）^{2}{x}^{2}v}{0.5}=1+$2v，根据位移速度关系得：2ax=v²，解得：$v=\sqrt{2ax}=\sqrt{2x}$，
根据功率公式：$P=Fv=（1+2\sqrt{2x}）\sqrt{2x}=4x+\sqrt{2x}$W，
答：（1）t=2s时回路的电动势E为2V；
（2）0-2s时间内流过回路的电荷量q为4C，导体棒的位移s为2m；
（3）导体棒滑动过程中水平外力F的瞬时功率P与横坐标x的关系式为$P=（4x+\sqrt{2x}）W$

点评 本题的关键首先要正确理解两个图象的数学意义，运用数学知识写出电流与时间的关系，要掌握牛顿运动定律、闭合电路殴姆定律，安培力公式、感应电动势公式．