Question

15．如图所示，在平面直角坐标系xOy的第二、第三象限内有一垂直纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场区域△ABC，A点坐标为（0，3a），C点坐标为（0，-3a），B点坐标为（-2$\sqrt{3}$a，-3a）．在直角坐标系xOy的第一象限内，加上方向沿y轴正方向、场强大小为E=Bv₀的匀强电场，在x=3a处垂直于x轴放置一平面荧光屏，其与x轴的交点为Q．粒子束以相同的速度v₀由O、C间的各位置垂直y轴射入，已知从y轴上y=-2a的点射入磁场的粒子在磁场中的轨迹恰好经过O点．忽略粒子间的相互作用，不计粒子的重力．
（1）求粒子的比荷；
（2）求粒子束射入电场的纵坐标范围；
（3）从什么位置射入磁场的粒子打到荧光屏上距Q点最远？求出最远距离．

Answer 1

分析 （1）由题意求解粒子在磁场中的轨迹半径，根据洛伦兹力提供向心力求解比荷；
（2）画出粒子运动轨迹，求解粒子离开磁场进入电场时离O点上方最远距离，由此得到粒子束射入电场的纵坐标范围；
（3）首先判断粒子应射出电场后打到荧光屏上，根据粒子在电场中做类平抛运动的规律列方程得到最远距离H与入射点位置y的关系，根据数学知识求解即可．

解答 解：（1）由题意可知，粒子在磁场中的轨迹半径为r=a
由牛顿第二定律得Bqv₀=m$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{r}$　
故粒子的比荷$\frac{q}{m}$=$\frac{{v}_{0}}{Ba}$；
（2）能进入电场中且离O点上方最远的粒子在磁场中的运动轨迹恰好与AB边相切，设粒子运动轨迹的圆心为O′点，如图所示．

由几何关系知O′A=r•$\frac{AB}{BC}$=2a　
则OO′=OA-O′A=a　
即粒子离开磁场进入电场时，离O点上方最远距离为OD=y_m=2a　
所以粒子束从y轴射入电场的范围为0≤y≤2a；
（3）假设粒子没有射出电场就打到荧光屏上，有3a=v₀•t₀　
y=$\frac{1}{2}$•$\overline{a}$t₀²=$\frac{9}{2}$a＞2a，所以，粒子应射出电场后打到荧光屏上　
粒子在电场中做类平抛运动，设粒子在电场中的运动时间为t，竖直方向位移为y，水平方向位移为x，则
水平方向有x=v₀•t　
竖直方向有y=$\frac{1}{2}$•$\overline{a}$t²　
代入数据得x=$\sqrt{2ay}$　
设粒子最终打在荧光屏上的点距Q点为H，粒子射出电场时与x轴的夹角为θ，则
tan θ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{x}}=\frac{\frac{Eq}{m}•\frac{x}{{v}_{0}}}{{v}_{0}}$=$\sqrt{\frac{2y}{a}}$
有H=（3a-x）•tan θ=（3$\sqrt{a}$-$\sqrt{2y}$）•$\sqrt{2y}$　
当3$\sqrt{a}$-$\sqrt{2y}$=$\sqrt{2y}$时，即y=$\frac{9}{8}$a时，H有最大值 
由于$\frac{9}{8}$a＜2a，所以H的最大值H_max=$\frac{9}{4}$a，粒子射入磁场的位置为y=$\frac{9}{8}$a-2a=-$\frac{7}{8}$a．
答：（1）粒子的比荷为$\frac{{v}_{0}}{Ba}$；
（2）粒子束射入电场的纵坐标范围为0≤y≤2a；
（3）从y=-$\frac{7}{8}$a射入磁场的粒子打到荧光屏上距Q点最远，最远距离为$\frac{9}{4}$a．

点评 对于带电粒子在磁场中的运动情况分析，一般是确定圆心位置，根据几何关系求半径，结合洛伦兹力提供向心力求解未知量；根据周期公式结合轨迹对应的圆心角求时间；对于带电粒子在电场中运动时，一般是按类平抛运动的知识进行解答．