Question

14．小船在200m宽的河中横渡，水流速度是2m/s，船在静水中的航速是4m/s，求：
（1）要使小船渡河耗时最少，应如何航行？
（2）要使小船航程最短，应如何航行？
（3）若水速为5m/s，船速为3m/s，则要求路程最少如何航行？最短航程是多少？

Answer 1

分析 （1）当船头的方向与河岸垂直时，渡河时间最短．
（2）当合速度的方向与河岸垂直时，渡河路程最短，根据平行四边形定则求出静水速的方向．
（3）因为水流速度大于静水速度，所以合速度的方向不可能垂直河岸，则小船不可能到达正对岸．

解答 解：（1）当小船的船头始终正对对岸时，渡河时间t最短
（2）设静水速的方向偏向上游与河岸成θ，

根据平行四边形定则，v_ccosθ=v_s，
cosθ=$\frac{1}{2}$．
则θ=60°．即与上游河岸成60°夹角
（3）因为水流速度大于静水速度，所以合速度的方向不可能垂直河岸，则小船不可能到达正对岸．当合速度的方向与静水速的方向垂直时，合速度的方向与河岸的夹角最短，渡河航程最小．

设此时静水速的方向与河岸的夹角为θ，cosθ=$\frac{{v}_{船}^{\;}}{{v}_{水}^{\;}}=\frac{3}{5}$．
即$θ=arccos\frac{3}{5}$
根据几何关系，则有：$\frac{d}{s}=\frac{{v}_{船}^{\;}}{{v}_{水}^{\;}}$，因此最短的航程是：
$s=\frac{{v}_{水}^{\;}}{{v}_{船}^{\;}}d=\frac{5}{3}×200=\frac{1000m}{3}$=333.3m
答：（1）垂直河岸渡河
（2）与上游河岸成60°的夹角渡河
（3）船头与上游河岸成θ=$arccos\frac{3}{5}$的夹角渡河，航程为333.3 m

点评 解决本题的关键知道当静水速与河岸垂直时，渡河时间最短，当静水速大于水流速，合速度与河岸垂直，渡河航程最短，当静水速小于水流速，合速度与静水速垂直，渡河航程最短．