Question

7．有一轻质木板AB长为L，A端用铰链固定在竖直墙上，另一端用水平轻绳CB拉住．板上依次放着a、b、c三个圆柱体，半径均为r，重均为G，木板与墙的夹角为θ，如图所示，不计一切摩擦，求BC绳上的张力．

Answer 1

分析 依次对圆柱体a、b、c进行受力分析，由共点力的平衡求出它们对杆AB的压力；最好以AB杆为研究的对象，受力分析，并找出各个力的力矩，在由力矩平衡的条件得出BC的拉力．

解答 解：以圆柱体a为研究的对象，a受到重力、杆的支持力和b的支持力，受力如图1，则：
N_a=G•cosθ

N_ba=Gsinθ
以圆柱体b为研究的对象，b受到重力、杆的支持力、a对b的压力，以及c对b的支持力，受力如图2，则：
N_b=Gcosθ

N_cb=N_ab+Gsinθ
由牛顿第三定律得：N_ab=N_ba
所以：N_cb=2Gsinθ
以圆柱体b为研究的对象，b受到重力、杆的支持力、a对b的压力，以及c对b的支持力，奖受到的力沿斜面方向与垂直于斜面的方向分解，受力如图3，则：
由牛顿第三定律得：N_bc=N_cb=2Gsinθ
沿x方向：N₁cosθ=Gsinθ+N_bc
沿y方向：N_c=Gcosθ+N₁sinθ
联立以上三式得：N_c=Gcosθ+3Gsinθ•tanθ
以杆AB为研究对象，杆的重力不计，杆受到abc三个圆柱体的压力与绳子BC的拉力，根据牛顿第三定律可知，圆柱体对杆的压力大小等于杆对圆柱体的支持力，各拉力相对于支点A的力臂如图4，根据力矩平衡的条件得：

FL₄=N_aL₁+N_bL₂+N_cL₃
其中：${L}_{3}=\frac{r}{sin\frac{θ}{2}}$，L₂=L₃+2r，L₁=L₂+2r，${L}_{4}=\overline{AB}•cosθ=L•cosθ$
联立方程，整理得：
$F=\frac{3G}{L}•（\frac{r}{sin\frac{θ}{2}}+2r+\frac{r}{sin\frac{θ}{2}}•\frac{si{n}^{2}θ}{co{s}^{2}θ}）$
答：BC绳上的张力是$\frac{3G}{L}•（\frac{r}{sin\frac{θ}{2}}+2r+\frac{r}{sin\frac{θ}{2}}•\frac{si{n}^{2}θ}{co{s}^{2}θ}）$

点评 该题中由于abc三个圆柱体对杆AB的作用点不在同一点，要分别求出圆柱体abc受到的支持力，然后才能使用力矩平衡的条件来解题．题目的思路比较简单，就是解答的步骤太多太复杂．