Question

9．已知下列数据：
①地面附近物体的重力加速度g；
②地球半径R；
③月球与地球两球心间的距离r；
④地球的第一宇宙速度v；
⑤月球绕地球做圆周运动的周期T1；
⑥地球绕太阳做圆周运动的周期T₂；
⑦万有引力常量G．
不考虑地球自转的影响，请你选择适当的数据计算地球的密度ρ．（要求给出两种方法）

Answer 1

分析 方法一：根据地球表面重力加速度和地球半径，求出地球质量，再根据密度公式求地球密度；
方法二：根据地球的第一宇宙速度和地球半径求出地球质量，再根据密度公式求地球密度；
方法三：根据月球绕地球做匀速圆周运动的周期及月球与地球间的距离求出地球质量，再根据密度公式求地球密度

解答 解：方法一：根据万有引力定律，在地球表面附近有万有引力等于重力$G\frac{{M}_{地}^{\;}m}{{R}_{\;}^{2}}=mg$
则密度$ρ=\frac{{M}_{地}^{\;}}{\frac{4π{R}_{\;}^{3}}{3}}=\frac{3{M}_{地}^{\;}}{4π{R}_{\;}^{3}}$
得$ρ=\frac{3g}{4πGR}$
方法二：在地球表面附近，物体绕地球运动可近似看做是匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力
$G\frac{{M}_{地}^{\;}m}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$
而密度$ρ=\frac{{M}_{地}^{\;}}{\frac{4π{R}_{\;}^{3}}{3}}=\frac{3{M}_{地}^{\;}}{4π{R}_{\;}^{3}}$
得$ρ=\frac{3{v}_{\;}^{2}}{4πG{R}_{\;}^{2}}$
方法三：月球绕地球运动可近似看做是匀速圆周运动，根据万有引力定律$G\frac{{M}_{地}^{\;}{m}_{月}^{\;}}{{r}_{\;}^{2}}={m}_{月}^{\;}\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{1}^{2}}r$
则密度$ρ=\frac{{M}_{地}^{\;}}{\frac{4π{R}_{\;}^{3}}{3}}=\frac{3{M}_{地}^{\;}}{4π{R}_{\;}^{3}}$
解得：$ρ=\frac{3π{r}_{\;}^{3}}{G{T}_{1}^{2}{R}_{\;}^{3}}$
答：地球的密度可表示为$\frac{3g}{4πG{R}_{\;}^{2}}$或$\frac{3{v}_{\;}^{2}}{4πG{R}_{\;}^{2}}$或$\frac{3π{r}_{\;}^{3}}{G{T}_{1}^{2}{R}_{\;}^{3}}$

点评 本题抓住在地球附近重力与万有引力相等，绕地球运动的天体向心力由万有引力提供依次列式计算求中心天体的质量．掌握规律是解题关键．