Question

如图所示，用折射率n=的玻璃做成内径为R、外径为R′=R的半球形空心球壳.一束平行光射向此半球的外表面，与中心对称轴OO′平行.试求：

(1)球壳内部有光线射出的区域；

(2)要使球壳内部没有光线射出，至少用多大的遮光板，如何放置才行?

Answer 1

（1）见解析   （2）见解析

解析：（1）设光线a′a射入外球面，沿ab方向射向内球面，刚好发生全反射，则sinC=,所以C=45°.

在△Oab中，Oa=R,Ob=R

所以，sinr=

即r=30°，则∠θ=C-r=45°-30°=15°

又

∠O′Oa=i,由=n，得sini=nsinr=

所以i=45°，即∠O′Ob=i+θ=45°+15°=60°.

当射向外球面的入射光线的入射角小于i=45°时，这些光线都会射出内球面.因此，以OO′为中心线，上、下（左、右）各60°的圆锥球壳内有光线射出.

（2）由图中可知，h=R′sini=R·=R，所以，至少用一个半径为R的遮光板，圆心过OO′轴并垂直该轴放置，才可以挡住射出球壳的全部光线，这时球壳内部将没有光线射出.