Question

4．小型登月器连接在航天站上，一起绕月球做圆周运动，其轨道距离月球表面的高度为月球半径的2倍．已知航天站在预定圆轨道上飞行n圈所用时间为t，某时刻，航天站使登月器减速分离，登月器沿如图所示与月球相切的椭圆轨道登月，在月球表面逗留一段时间完成科考工作后，经快速启动仍沿原椭圆轨道返回．整个过程中航天站保持原轨道绕月运行．已知月球半径为R，引力常量为G，求：
（1）月球的质量？
（2）登月器离开月球表面返回航天站需要多长时间？

Answer 1

分析 （1）根据万有引力提供圆周运动向心力公式求月球的质量；
（2）根据开普勒第三定律求出椭圆轨道的周期，然后结合两种轨道的特点可知，登月器离开月球表面返回航天站需要半个周期，由此即可求出．

解答 解：（1）对航天站，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得：
$\frac{G{M}_{月}m}{（3R）^{2}}=\frac{m•4{π}^{2}•3R}{{T}^{2}}$
由题意知：T=$\frac{t}{T}$
M_月=$\frac{108{R}^{3}{n}^{2}{π}^{2}}{G{t}^{2}}$
（2）设登月器做椭圆运动的周期为，由开普勒第三定律得：
$\frac{（3R）^{2}}{{T}^{2}}=\frac{（\frac{2R+R}{2}）^{2}}{T{′}^{2}}$
联立得：$T′=\frac{2\sqrt{6}}{9n}•t$
登月器离开月球表面返回航天站需要的时间t=$\frac{T′}{2}=\frac{\sqrt{6}t}{9n}$
答：（1）月球的质量是$\frac{108{R}^{3}{n}^{2}{π}^{2}}{G{t}^{2}}$；
（2）登月器离开月球表面返回航天站需要的时间是$\frac{\sqrt{6}t}{9n}$．

点评 该题考查万有引力定律的应用，解决本题的关键掌握万有引力提供向心力公式及开普勒第三定律的公式，难度不大，属于基础题．