题目内容
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如图为某种鱼饵自动投放器中的装置原理图．其上半部BC段是半径为R的四分之一圆弧弯管，管口与水平方向垂直，下半部分AB段是一长为2R的竖直细管，AB管内有一根原长为R、下端固定的轻质弹簧．投饵时，每次总将掸簧长度压缩到0.5R后锁定，在弹簧上端放入一粒鱼饵．解除锁定时，弹簧可将鱼饵弹射出去．设质量为m的鱼饵到达管口C点时，对管壁的作用力恰好为零，若不计鱼饵在运动过程中的机械能损失，且假设每次锁定和解除锁定时，均不改变弹簧的弹性势能，已知重力加速度为g，求：（1）鱼饵到达管口C点时的速度v1；
（2）每次压缩弹簧，贮存的弹性势能Ep；
（3）已知地面与水面相距1.5R，从鱼饵飞出管口到落至水面，水平射程x1多远？入水时的速度v2多大？
（4）若使该投饵器绕AB管的竖直轴线OO′在90°角范围内，在水平方向来回缓慢转动．每次弹射时只投放一粒鱼饵，鱼饵的质量控制在$\frac{2}{3}$m到m之间不等变化，且均能落到水面，持续投放足够长时间后，鱼饵能够落在水面上的最大面积S是多少？
分析 （1）鱼饵到达管口时对管壁的作用力恰好为零，可知此时鱼饵所受重力完全提供鱼饵圆周运动的向心力，据此求得速度；
（2）不计鱼饵在运动过程中的机械能损失，所以鱼饵增加的机械能都是弹簧做功的结果，由功能关系知道弹簧具有的弹性势能等于鱼饵增加的机械能；
（3）鱼饵离开C后做平抛运动，根据平抛知识求水平射程及入水时的速度；
（4）分别求出质量是m和$\frac{2m}{3}$的鱼饵离开C时的速度，再利用平抛运动规律求出落到水平面到转轴之间的距离，转轴转过90°时，鱼饵在水平面形成两个$\frac{1}{4}$圆面积，中间夹的环形面积即为所求．
解答 解：（1）鱼饵离开C时恰好对管壁无作用力，故可知在C点鱼饵所受重力完全提供圆周运动向心力，有：
$mg=m\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$…①
解得：v1=$\sqrt{gR}$…②
（2）从弹簧释放到最高点C的过程中，弹簧的弹性势能全部转化为鱼饵的机械能，由系统的机械能守恒定律有：
Ep=mg（1.5R+R）+$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$…③
由②③式解得：Ep=3mgR…④
（3）鱼饵离开C点后做平抛运动，故根据平抛射程公式有：
鱼饵的水平射程为：${x}_{1}={v}_{1}\sqrt{\frac{2H}{g}}=\sqrt{gR}\sqrt{\frac{2（R+2R+1.5R）}{g}}=3R$
根据动能定理有：mgH=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
可是鱼饵到达水面时的速度为：
${v}_{2}=\sqrt{2gH+{v}_{1}^{2}}=\sqrt{2g（R+2R+1.5R）+gR}$=$\sqrt{10gR}$
（4）当鱼饵质量为$\frac{2m}{3}$时，根据机械能守恒定律得：
${E}_{P}=\frac{2}{3}mg（2.5R）+\frac{1}{2}×（\frac{2m}{3}）{{v}_{1}^{′}}^{2}$
解得：${v}_{1}^{′}=2\sqrt{gR}$
离开C做平抛的射程为：${x}_{2}={v}_{1}^{′}\sqrt{\frac{2H}{g}}=2\sqrt{gR}×\sqrt{\frac{2×4.5R}{g}}=6R$
由几何知识知，鱼饵投射到水面区域的半径：
r1=x1+R=4R
r2=x2+R=7R
所以对应投射面积为：
$S=\frac{1}{4}（π{r}_{2}^{2}-π{r}_{1}^{2}）=\frac{1}{4}π[（7R）^{2}-（4R）^{2}]$=8.25πR2
答：（1）鱼饵到达管口C点时的速度v1为$\sqrt{gR}$；
（2）每次压缩弹簧，贮存的弹性势能Ep为3mgR；
（3）已知地面与水面相距1.5R，从鱼饵飞出管口到落至水面，水平射程x13R，入水时的速度v2为$\sqrt{10gR}$；
（4）若使该投饵器绕AB管的竖直轴线OO′在90°角范围内，在水平方向来回缓慢转动．每次弹射时只投放一粒鱼饵，鱼饵的质量控制在$\frac{2}{3}$m到m之间不等变化，且均能落到水面，持续投放足够长时间后，鱼饵能够落在水面上的最大面积S是8.25πR2．
点评 本题考查了圆周运动最高点的动力学方程和平抛运动规律，转轴转过90°鱼饵在水平面上形成圆周是解决问题的关键，这是一道比较困难的好题．
新编小学单元自测题系列答案
某种透明物质制成的直角三棱镜ABC，折射率为n，角A等于30°．一细束光线在纸面内从O点射入棱镜，如图所示，当入射角为α时，发现刚好无光线从AC面射出，光线垂直于BC面射出．求：
如图所示，质量分别为mA和mB的物体A、B用细绳连接后跨过滑轮，A静止在倾角为45°的斜面上，B悬挂着．已知mA=2mB，不计滑轮摩擦，现将斜面倾角缓慢增大到50°，系统仍保持静止．下列说法正确的是（ ）| A． | 绳子对A的拉力将增大 | B． | 物体A对斜面的压力将减小 | ||
| C． | 物体A受到的摩擦力不变 | D． | 物体A受到的合力将增大 |
| A． | 轨道半径之比为$\root{3}{2}$：2 | |
| B． | 线速度之比为2：1 | |
| C． | 质最相同的上述气象卫星和地球同步卫星相比，气象卫星的机械能大 | |
| D． | 质量相同的上述气象卫星和地球同步卫星的动能之比为$\root{3}{4}$：1 |
| A． | 牛顿发现了万有引力定律，并用扭秤测出了万有引力常数 | |
| B． | 法拉第发现了电流的磁效应，并根据研究成果建立了法拉第电磁感应定律 | |
| C． | 密立根通过实验首先测定了电子的电荷量 | |
| D． | 波兰科学家哥白尼通过天文观察和研究，推翻了托勒密的地心说，建立了关于行星运动的三个定律 |
如图所示电路，已知电源电动势为E，内阻为r，R0为固定电阻，当滑动变阻器R的触头向上移动时，下列论述正确的是（ ）| A． | 灯泡L一定变亮 | B． | 安培表的示数变小 | ||
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所图所示，一直立的汽缸用一质量为m的活塞封闭一定量的理想气体，活塞横截面积为S，汽缸内壁光滑且缸壁是导热的，开始活塞被固定，打开固定螺栓K，活塞下落，经过足够长时间后，活塞停在B点，已知AB=h，大气压强为p0，重力加速度为g．
等腰三角形OAB为玻璃三棱柱的横截面，∠OAB=30°，C点为底边AB的中点．一平行于底边AB的光线射到OA边的中点上，经OA折射的光线恰射向C点，最终光线从玻璃三棱柱射出．