Question

7．如图甲所示，两平行金属板A、B长L=8cm，两板间距离d=6cm，A、B两板间的电势差U_AB=100V，一比荷为$\frac{q}{m}$=1×10⁶c/kg的带正电粒子（不计重力）从O点沿电场中心线垂直电场线以初速度v₀=2×10⁴m/s飞入电场，粒子飞出平行板电场后经过界面MN、PS间的无电场区域，已知两界面MN、PS相距为s=8cm，带点粒子从PS分界线上的C点进入PS右侧的区域，当粒子到达C点时开始计时，PS右侧区域有磁感应强度按图乙变化的匀强磁场（垂直纸面向里为正方向）．求：

（1）PS分界线上的C点与中心线OO′的距离y；
（2）粒子进入磁场区域后第二次经过中心线OO′时与PS分界线的距离x．

Answer 1

分析 （1）带电粒子垂直进入匀强电场后，只受电场力，做类平抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做匀加速直线运动．由牛顿定律求出加速度，由运动学公式求出粒子飞出电场时的侧移h，由几何知识求解粒子穿过界面PS时偏离中心线RO的距离．
（2）由运动学公式求出粒子飞出电场时速度的大小和方向．粒子穿过界面PS后将绕电荷Q做匀速圆周运动，由库仑力提供向心力，由牛顿第二定律求出轨迹半径，和运动的周期，再由几何关系求解即可．

解答 解：（1）设粒子从电场中飞出的侧位移为h，穿过界面PS时偏离中心线的距离为y
        L=v₀t     （1）
  $t=\frac{L}{{v}_{0}}=\frac{0.08}{2×1{0}^{4}}=4×1{0}^{-6}$s
    h=$\frac{1}{2}$at²         （2）
又粒子的加速度为a=$\frac{qU}{md}$=$1×1{0}^{6}×\frac{100\sqrt{3}}{0.06}=\frac{5\sqrt{3}}{3}×1{0}^{9}m/{s}^{2}$ （3）
由（1）（2）（3）代入解得  h=$\frac{4\sqrt{3}}{3}×1{0}^{-2}$m=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$cm
设粒子从电场中飞出时在竖直方向的速度为v_y则
  v_y=at=$\frac{5\sqrt{3}}{3}×1{0}^{9}×4×1{0}^{-6}=\frac{2\sqrt{3}}{3}×1{0}^{4}$m/s
v与水平方向的夹角θ=arctan$\frac{{v}_{x}}{{v}_{y}}=arctan\frac{2×1{0}^{4}}{\frac{2\sqrt{3}×1{0}^{4}}{3}}=arctan\frac{\sqrt{3}}{3}=30°$
PS分界线上的C点与中心线OO′的距离y：$y=h+s•tanθ=\frac{4\sqrt{3}}{3}+8×\frac{\sqrt{3}}{3}=4\sqrt{3}$cm
（2）粒子从电场中飞出时速度v．则
    v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}×1{0}^{4}$m/s
粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，则：$qvB=\frac{m{v}^{2}}{r}$
$r=\frac{mv}{qB}=\frac{\frac{4\sqrt{3}}{3}×1{0}^{4}}{1×1{0}^{6}×\frac{\sqrt{3}}{3}}=0.04$m=4cm
粒子在该磁场中的周期：$T=\frac{2πr}{v}=\frac{2π×0.04}{\frac{4\sqrt{3}}{3}×1{0}^{4}}=2\sqrt{3}π×1{0}^{-6}$s
由图可知，磁场经过$t=\frac{2\sqrt{3π}}{3}×1{0}^{-6}s=\frac{1}{3}T$改变一次方向，所以粒子运动的轨迹如图：

由（1）可知，粒子进入磁场时受到的方向与PS之间的夹角是60°，经过$\frac{1}{3}$T后，粒子偏转的角度是120°，所以是竖直向上；此时磁场改变方向，则粒子也改变偏转的方向，即粒子改变为向右偏转，轨迹如图，再经过$\frac{1}{3}T$的轨迹如图，在该过程中粒子两次经过OO′轴；
$CD=r•cos30°=2\sqrt{3}$cm，
所以：$DE=y-CD=4\sqrt{3}cm-2\sqrt{3}cm=2\sqrt{3}cm$
由图中几何关系可知：粒子进入磁场区域后第二次经过中心线OO′时与PS分界线的距离即$\overline{EG}$，由图可得：
$\overline{EG}=2r+2•rsin30°=3r=3×4cm=12$cm  
答：（1）PS分界线上的C点与中心线OO′的距离是$4\sqrt{3}$cm；
（2）粒子进入磁场区域后第二次经过中心线OO′时与PS分界线的距离是12cm；

点评 该题考查带电粒子在磁场中的运动与带电粒子在电场中的运动．要注意带电粒子在磁场中运动的过程中，运动的轨迹是分析与解答的关键，要正确画出运动的轨迹．