Question

14．如图1所示，力学实验室轨道车在水平恒定的牵引力F=16N的作用下以v₀=4.2m/s的速度沿水平面匀速前进．某时刻起，前进路线两侧的智能机械手臂每隔T=0.8s无初速（相对地面）投放一沙袋到车上．已知车的上表面光滑，每个沙袋的质量m=1.0kg．从放上第一个沙袋开始计时，0～0.8s内车运动的v-t图象如图2所示．整个过程中沙袋始终在车上未滑下，g=10m/s²．求：

（1）小车的质量M及车与地面的动摩擦因数μ；
（2）当小车停止时，车上有多少个沙袋？

Answer 1

分析 （1）根据v-t图线得出0-0.8s内小车的加速度，结合牛顿第二定律求出小车的质量和地面的动摩擦因数．
（2）根据牛顿第二定律得出放上第二个沙袋、第三个沙袋后小车的加速度，得出每0.8s内的速度变化量，从而得出加速度和速度变化量的通项表达式，抓住速度的变化，运用数学知识求出车上沙袋的个数．

解答 解：（1）小车的上表面光滑，沙袋相对地面始终保持静止状态，放上沙袋后小车开始做匀减速运动，设小车与地面间的动摩擦因数为μ，未放沙袋时μMg=F，
放上第一个沙袋后，对小车有：F-μ（m+M）g=Ma₁，
即-μmg=Ma₁，
由v-t图象可知，△v₁=v₁-v₀=（4.2-4.0）m/s=-0.2 m/s，
放上第一个沙袋后小车的加速度为：a₁=-0.25 m/s²，
代入数据解得：μ=0.20，M=8 kg．                   
（2）同理，放上第二个沙袋后，对小车有：-2μmg=Ma₂，
代入数据解得：a₂=2a₁=-0.5 m/s²
则0.8 s内速度改变量为：△v₂=a₂T=-0.5×0.8m/s=-0.4 m/s，
放上第三个沙袋后小车的加速度为：a₃=-3 a₁=-0.75 m/s²，
 则0.8 s内速度改变量为：△v₃=-3×0.2 m/s=-0.6 m/s               
则放上第n个沙袋后小车的加速度为：a_n=-n a₁（n=1，2，3，…） 
则0.8 s内速度改变量为：△v_n=-n×0.2 m/s（n=1，2，3，…）    
所以△v=△v₁+△v₂+△v₃+…+△v_n=-（1+2+3+…+n）×0.2 m/s，
而△v=0-4.2 m/s=-4.2m/s，
联立解得：n=6．                                               
即当小车停止时，车上有6个沙袋．
答：（1）小车的质量M为8kg，车与地面的动摩擦因数μ为0.20；
（2）当小车停止时，车上有多6个沙袋．

点评 本题分析受力情况和运动情况是基础，难点是运用数学归纳法总结规律，得出小车速度改变量的通项．