Question

7．如图所示，已知倾角θ=45°、高为h的斜面，将其固定在水平地面上．一小球从高为H（h＜H＜$\frac{5}{4}$h）处自由下落，与斜面做无机械能损失的碰撞后水平抛出．小球自由下落的落点距斜面左侧的水平距离为x，若要使小球与斜面至少碰撞两次，重力加速度为g．
（1）求x应满足的条件．
（2）若小球与斜面恰好碰撞两次到达斜面底端，求小球运动的总时间．

Answer 1

分析 （1）小球与斜面碰撞后做平抛运动，当正好落在斜面底端时，x最大，根据平抛运动的基本公式结合几何关系、动能定理求出x的最小值，而x的最大值即为h，从而求出x的范围；
（2）根据竖直方向做自由落体运动，由运动学公式列出总时间的表达式，再由数学知识求解时间．

解答 解：（1）小球做自由落体运动的末速度为：v₀=$\sqrt{2g（H-h+x）}$
小球与斜面碰撞后做平抛运动，当正好落在斜面底端时，x最小．
小球做平抛运动的时间为：t=$\sqrt{\frac{2（h-x）}{g}}$
平抛运动的水平位移 s=v₀t
由几何关系可得：s=h-x
联立得：h-x=v₀$\sqrt{\frac{2（h-x）}{g}}$
解得：x=h-$\frac{4}{5}$H
故x应满足的条件是0＜x＜（h-$\frac{4}{5}$H）．
（3）小球运动的总时间 t_总=$\sqrt{\frac{2（H-h+x）}{g}}$+$\sqrt{\frac{2（h-x）}{g}}$
将x=h-$\frac{4}{5}$H代入解得 t_总=3$\sqrt{\frac{2H}{5g}}$
答：
（1）x应满足的条件是0＜x＜（h-$\frac{4}{5}$H）．
（2）若小球与斜面恰好碰撞两次到达斜面底端，小球运动的总时间是3$\sqrt{\frac{2H}{5g}}$．

点评 本题是机械能守恒与自由落体运动、平抛运动的综合，既要把握每个过程的物理规律，更要抓住它们之间的联系，比如几何关系，运用数学上函数法求解极值．